129. Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m относительно оси симметрии.

131. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой m относительно оси, проходящей через центр масс шара.

132. Выведите формулу для момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна m, внутренний радиус r, внешний R.

133. Вывести формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с её осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус r, внешний R.

134. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R = 40 см и массой m = 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

135. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной l = 50 см и массой m = 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины.

136. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой масса катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

137. Полная кинетическая энергия T диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию T₁ поступательного и T₂ вращательного движения диска.

138. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v₁ = 1,4 м/с, после удара v`₁ = 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

139. К ободу однородного сплошного диска массой m = 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F = 30 Н. Определить кинетическую энергию через время t = 4 с после начала движения силы.

140. Шар радиусом R = 10 см и массой m = 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ = A + B*t² + C*t³ (B = 2 рад/с², C = – 0,5 рад/с³). Определить момент сил M для t = 3 с.

141. Вентилятор вращается с частотой n = 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 50 оборотов, остановился. Работа A сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: 1) момент сил М торможения; 2) момент инерции J вентилятора.

142. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 150 кг*м², вращается с частотой n = 240 об/мин. Через t = 1 мин после начала действия сил торможения он остановился. Определите: 1) момент M сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки.

143. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определить линейное ускорение α центра диска.

144. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует сила трения Mтр = 2 Н*м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с².

145. Частота вращения n₀ маховика, момента инерции J которого равен 120 кг*м², составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t = π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определите момент М сил трения.

146. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J = 1,5 кг*м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту своего вращения с n₀ = 240 об/мин до n₁ = 120 об/мин. Определить: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М сил торможения; 3) работу торможения А.

147. Колесо радиусом R = 30 см и массой m = 3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной l = 5 м и углом наклона α = 25° . Определить момент инерции колеса, если его скорость v в конце движения составляла 4,6 м/с.

148. С наклонной плоскости, составляющей угол α = 30 градусов с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.

149. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью v = 1,5 м/с. Определите путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути.

150. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а = 2 м/с². Определить: 1) момент инерции J; 2) масса m₁ вала.

151. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=5 см и массой M = 10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 1 кг. Определите: 1) зависимость s(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость φ(t), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость φ вала через t = 1 с после начала движения; 5) тангенциальное (а_τ) и нормальное (а_n) ускорения точек, находящихся на поверхности вала.

152. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R = 20 см, момент инерции которого J = 0,15 кг*м², намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) зависимость s(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол.

153. Через неподвижный блок в виде однородного цилиндра массой m = 0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прекреплены тела массами m₁ = 0,35 кг и m₂ = 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение; 2) отношение Т₂/Т₁ сил натяжения нити.

154. Тело массой m₁ = 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой m₂ = 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока m = 0,15 кг. Коэффициент трения f тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение а, с которым будет двигаться эти тела; 2) силы натяжения T₁ и T₂ нити по обе стороны блока.

155. Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и массой m, туго насаженный на ось радиусом r, которая подвешивается на двух предварительно намотанных на нее нитях. Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном движении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции оси, определить: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити.

156. Однородный шар радиусом r = 20 см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом R = 50 см. Определить угловую скорость w шара после отрыва от поверхности сферы.

157. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,4 рад/с². Определите кинетическую энергию маховика через время t₂ = 25 с после начала движения, если через t = 10 с после начала движения момент импульса L₁ маховика составлял 50 кг * м²/с.

158. Горизонтальная платформа массой m = 25 кг и радиусом R = 0,8 м вращается с частотой n₁ = 18 мин^-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J₁ = 3,5 кг*м² до J₂ = 1 кг*м².

159. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J = 10 кг * м² и вращается с частотой n₁ = 12 мин^-1. Определите частоту n₂ вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.

160. Человек массой m = 60 кг, стоящий краю горизонтальной платформы массой M = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n₁ = 10 мни^-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определитe, с какой частотой n₂ будет тогда вращаться платформа.

161. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

162. Человек массой m = 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R = 1 м, и массой М = 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n₁ = 10 мин^^-1, переходит к её центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к её центру.

164. К проволоке из углеродистой стали длиной l = 1,5 м и диаметром d = 2,1 мм подвешен груз массой m = 110 кг. Принимая для стали модуль Юнга E = 216 ГПа и предел пропорциональности σ_n = 330 МПа, определить: 1) какую долю первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе; 2) превышает приложенное напряжение или нет предел пропорциональности.

165. Медная проволока сечением S = 8 мм² под действием растягивающей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при нагревании на 30 К. Принимая для меди модуль Юнга E = 118 ГПа и коэффициент линейного расширения а = 1,7*10^-5 К^-1, определить числовое значение этой силы.

166. Резиновый шнур длиной 40 см и внутренним диаметром 8 мм натянут так, что удлинился на 8 см. Принимая коэффициент Пуассона для резины равным 0,5, определить внутренний диаметр натянутого шнура.

167. Определите работу, которую необходимо затратить, чтобы сжать пружину на 15 см, если известно, что сила пропорциональна деформации и под действием силы 20 Н пружина сжимается на 1 см.

168. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа A = 6,9 Дж. Длина стержня l = 1 м, площадь поперечного сечения S = 1 мм², модуль Юнга для алюминия E = 69 ГПа.

169. Определите объемную плотность потенциальной энергии упруго-растянутого медного стержня, если относительное изменение длины стержня ε = 0,01 и для меди модуль Юнга E = 118 ГПа.

170. Два вагона (масса каждого m = 15 т) движутся навстречу друг другу со скоростью v = 3 м/с и сталкиваются между собой. Определить сжатие пружины буферов вагона, если известно, что сила пропорциональна деформации, и под действием силы F = 50 кН пружина сжимается на Δl = 1 см.