1. Физические основы механики

1. Скорость течения реки v, а скорость движения лодки относительно воды v₁. Определить, под каким углом относительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки.

2. Капля дождя при скорости ветра v₁ падает под углом α к вертикали. Определить, при какой скорости ветра v₂ капля будет падать под углом В.

3. Два автомобиля, выехав одновременно из одного пункта, движутся прямолинейно в одном направлении. Зависимость пройденного ими пути задается уравнениями s₁ = At + Bt² и s₂ = Ct + Dt² + Ft³. Определить относительную скорость u автомобилей.

4. Велосипедист проехал первую половину времени своего движения со скоростью v₁, вторую половину времени – со скоростью v₂. Определить среднюю скорость движения велосипедиста.

5. Велосипедист проехал половину пути со скоростью v₁ = 16 км/ч, вторую половину пути - со скоростью v₂ = 12 км\ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста.

6. Студент проехал половину пути на велосипеде со скоростью v₁ = 16 Далее в течение половины оставшегося времени он ехал со скоростью v₂ = 12, а затем до конца пути шел пешком со скоростью v₃ = 5. Определить среднюю скорость движения студента на всем пути.

7. В течении времени τ скорость тела задается уравнением вида v = A + Bt + Ct² (0 <= t <= τ) Определить среднюю скорость за промежуток времени τ.

8. При падении камня в колодец его удар о поверхность воды доносится через t = 5 с. Принимая скорость звука v = 330 м/с, определить расстояние до дна колодца.

9. Тело падает с высоты h = 1 км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, какой путь пройдет тело 1) за первую секунду своего падения; 2) за последнюю секунду своего падения.

10. Тело падает с высоты h = 1 км с нулевой начальной скоростью. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, какое время понадобится телу для прохождения: 1) первых 10 метров пути; 2) последних 10 метров пути.

11. Первое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀ = 5 м/с. В тот же момент времени вертикально вниз с той же начальной скоростью из точки h_max первого тела, брошено второе тело. Определить: 1) в какой момент времени t тела встретятся; 2) на кокой высоте h от поверхности земли произойдет эта встреча; 3) скорость v₁ первого тела в момент встречи; 4) скорость v₂ второго тела в момент встречи.

12. Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная высота подъема h = s/4 (s – дальность полета) Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту.

13. Тело брошено со скоростью v₀ = 15м/с под углом α=30 а к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1)высоту h подъема тела; 2) дальность полета (по горизонтали) s тела; 3) время его движения

14. Тело брошено со скоростью v₀ = 20м/с под углом α=30 а к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить для момента времени t = 1,5 с после начала движения: 1) нормальное ускорение; 2) тангенсальное ускорение.

15. С башни высотой H = 40 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью v₀ = 20 м/с под углом α = 45 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха определите: 1) время движения тела; 2) на каком расстоянии от основания башни тело упадет на Землю; 3)скорость падения v тела на землю; 4) угол φ, который составит траектория тела с горизонтом в точке его падения.

16. Тело брошено горизонтально со скоростью v₀ = 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через t = 2 с после начала движения.

17. С башни высотой h = 30 м в горизонтальном направлении брошено тело с начальной скоростью v₀ = 10 м/с. Определить: 1) уравнение траектории тела y(x); 2) скорость v тела в момент падения на землю; 3) угол ф, который образует эта скорость v с горизонтом в точке его падения.

18. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s(t) = A – Bt + Ct² + Dt³ (A = 6 м, B = 3 м/с, C = 2 м/с², D = 1 м/с³) Определить для тела в интервале от t₁ = 1 до t₂ = 4 с: 1) среднюю скорость; 2) среднее ускорение.

19. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s(t) = A + Bt + Ct² + Dt³ (C = 0,1 м/с², D = 0,03 м/с^³) Определите: 1) через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 2 м/с²; 2) среднее ускорение (a) тела за этот промежуток времени.

21. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью v₀. Определить ускорение тела, если за время t оно прошло путь S и его скорость v.

22. Материальная точка движется вдоль прямой так, что её ускорение линейно растёт и за первые 10 секунд достигает значения 5 м/с². Определить в конце десятой секунды: 1) скорость точки; 2) пройденный точкой путь.

23. Кинетические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x₁ = A₁*t + B₁*t² + C₁*t³ и x₂ = A₂*t + B2*t² + C₂*t³, где B₁ = 4 м/с², C₁ = – 3 м/с³, B2 = -2 м/с² C2 = 1 м/c³. Определите момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

24. Кинетические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x₁ = A₁ + B₁*t + C₁*t² и x₂ = A₂ + B₂*t + C₂*t², где B₁ = B₂, C₁ = – 2 м/с², C₂ = 1 м/c². Определить: 1) момент времени, для которого скорости этих точек будут равны; 2) ускорение a₁ и a₂ для этого момента.

25. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r = 4 м, задается уравнением a_n = A + B*t + С*t²(A = 1 м/c², B = 6 м/с³, С = 9 м/с⁴) Определите: 1) тангенсальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t = 5 сек. после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t₂ = 1 секунде.

26. Зависимость пройденного телом пути sот времени tвыражается уравнением s= At- Bt² + Ct³ (A= 2 м/с, В = 3 м/с², С = 4 м/с³). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t- 2 с после начала движения 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение.

27. Зависимость пройденного телом пути по окружности радиусом r= 3 м задается уравнением s= At² + Bt(А = 0,4 м/с^:, B = 0,1 м/с) Определите для момента времени t = 1 с после начала движения ускорение: 1) нормальное, 2) тангенциальное; 3) полное.

28. Точка движется в плоскости ху из положения с координатами х₁ = v₁ = 0 со скоростью v = ai+ bxj(а, b— постоянные, i, j — орты осей x и y). Определите: 1) уравнение траектории точки y(x); 2) форму траектории.

29. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = t³i+ 3t²j, где i, j — орты осей х и у. Определите для момента времени t = 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

30. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = 4t²i+ 3tj + 2k. Определите: 1) скорость v; 2) ускорение а; 3) модуль скорости в момент времени t= 2 с.

31. Движение материальной точки в плоскости ху описывается законом х = At, у = At (1 + Bt), где A и B— положительные постоянные. Определите: 1) уравнение траектории материальной точки y(х); 2) радиус-вектор r точки в зависимости от времени; 3) скорость vточки в зависимости от времени; 4) ускорение а точки в зависимости от времени.

32. Материальная точка начинает двигаться по окружности радуисом r = 12,5 с постоянным тангенсальным ускорением а_τ = 0,5 см/с². Определить: 1) момент времени, при котором вектор ускорения a образует с вектором скорости v угол α = 45; 2) путь, пройденный за это время движущейся точкой.

33. Линейная скорость v₁ точки, находящейся на ободе вращающегося диска, в три раза больше, чем линейная скорость v₂точки, находящейся на 6 см ближе к его оси. Определите радиус диска.

34. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 3рад/с. Определить радиус колеса, если через время t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса равно а = 7,5 м/с².

35. Якорь электродвигателя, имеющий частоту вращения n = 50, после выключения тока, сделав N = 628 оборотов, остановился. Определить угловое ускорение ε якоря.

36. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За время t = 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

37. Точка движется по окружности радиусом R = 15 см с постоянным тангенсальным ускорением a_τ. К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки v₁ = 15 см/с. Определить нормальное ускорение a_n2 точки через t ₂ = 16 c после начала движения.

38. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением φ = A + Bt+ Сt² + Dt³(B = 1 рад/с, C = 1 рад/с², D = 1 рад/с³). Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение а_τ; 2) нормальное ускорение а_n; 3) полное ускорение а.

39. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = Аt² (A = 0,5 рад/с²). Определить к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное a_τ, нормальное a_n и полное ускорение а.

40. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = Аt² (A = 0,1 рад/с²). Определить полное ускорение a точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если в этот момент линейная скорость этой точки v = 0,4 м/с.

41. Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением v = A*t + B*t² (A = 0,3 м/с²; B = 0,1 м/с³) Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения а образует с радиусом колеса угол φ = 4 градуса.

42. Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = A + B*t³ (A = 2 рад; B = 4 рад/с³). Определить для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение a в момент времени t = 2 сек; 2) тангенсальное ускорение для этого же момента времени; 3) угол поворота φ, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол α = 45 градусов.