1.213. В опыте, аналогичном тому, с помощью которого Кавендиш определил в 1798 г. гравитационную постоянную γ, массы малых и больших свинцовых шаров были равны соответственно m=0,729 кг и M=158 кг. Малые шары были укреплены на легком, подвешенном на стальной проволоке коромысле, длина которого, измеренная между центрами шаров, l=216 см. Диаметр проволоки равнялся 0,6 мм, длина была около метра. При расстоянии между центрами малого и соответствующего большого шаров, равном 300 мм, проволока, несущая коромысло с малыми шарами, закручивалась на угол α = 39,6”. Определенный экспериментально коэффициент пропорциональности k между углом закручивания проволоки и приложенным вращающим моментом равен 1,04*10³ рад/(Н*м). Найти значение γ.

1.214. С какой силой F притягивают друг друга два одинаковых однородных шара массы m=1,000 кг каждый, если их центры отстоят друг от друга на расстояние r=1,00 м?

1.215. Два одинаковых однородных шара, соприкасаясь, притягивают друг друга с силой F. Как изменится сила, если увеличить массу шаров в n раз? Материал, из которого изготовлены шары, предполагается одним и тем же.

1.216. Имеется очень тонкий однородный прямой стержень длины l и массы M. На прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр, находится на расстоянии b частица массы m. а) Найти модуль F силы, с которой стержень действует на частицу, если b=l=2a. б) Исследовать случай b>>l. в) Сравнить F с силой F', с которой взаимодействовали бы материальные точки массами M и m, находящиеся на расстоянии b=2a друг от друга.

1.217. Решить задачу 1.216, считая, что частица находится на оси стержня, на расстоянии b=l=2a от его центра.

1.218. Имеется очень тонкое однородное кольцо массы M и радиуса R. На прямой, перпендикулярной к плоскости кольца и проходящей через его центр, находится на расстоянии x от центра частица массы m. Найти: а) взаимную потенциальную энергию U(x) частицы и кольца, б) силу F_x, действующую на частицу со стороны кольца. Силу вычислить двумя способами: 1) путем суммирования элементарных сил, 2) использовав выражение для U(x). в) Исследовать случай x>>R.

1.219. Имеется очень тонкий однородный диск радиуса R. Поверхностная плотность (масса единицы площади) диска равна σ. На прямой, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр, находится на расстоянии b от диска частица массы m. Определить: а) силу F, с которой диск действует на частицу, б) при каком условии сила F отличается от своего предельного значения F_∞, получающегося при R→∞, не более чем на 1%.

1.220. Имеется бесконечная очень тонкая однородная пластинка с поверхностной плотностью σ. На расстоянии b от нее находится частица массы m. а) Найти модуль F силы, с которой пластинка действует на частицу. б) Чем примечательно выражение для F? в) Как изменится результат, если пластинку с пренебрежимо малой толщиной заменить пластиной конечной толщины d, изготовленной из вещества с объемной плотностью ρ?

1.221. Имеется бесконечная однородная пластина толщины d=0,100 м, плотность которой ρ=10,0 г/см³. С какой силой F действует эта пластина на находящееся вблизи от нее тело массы m=1,00 кг?

1.222. С какой силой F (в расчете на единицу площади) притягивают друг друга две параллельные бесконечные однородные пластины плотности ρ=10,0 г/см³ и толщины d=0,100 м каждая?

1.223. Имеется бесконечный очень тонкий однородный прямой стержень с линейной плотностью (массой, приходящейся на единицу длины), равной λ. На расстоянии b от его оси находится частица массы m. а) Найти модуль F силы, с которой стержень действует на частицу. б) Частица какой массы M, находясь от частицы массы m на расстоянии b, действовала бы на нее с такой же силой?

1.224. Как связаны телесный угол dΩ и поверхность dS, вырезаемая им на сфере радиуса R, центр которой совпадает с вершиной телесного угла?

1.225. Выразить в сферических координатах элемент поверхности dS сферы радиуса R, центр которой находится в начале координат.

1.226. Выразить в сферических координатах элементарный телесный угол dΩ, вершина которого помещается в начале координат.

1.227. Определить гравитационную силу F, которую будет испытывать материальная точка, находящаяся внутри однородного шарового слоя.

1.228. Внутри однородного шарового слоя находится однородный шаровой слой меньшего размера. Центры слоев не совпадают. Чему равна сила F взаимодействия между слоями?

1.229. Имеется очень тонкий однородный слой в виде полусферы радиуса R и массы М. В центре полусферы находится частица массы m. Найти модуль F силы, с которой слой действует на частицу.

1.230. Найти взаимную потенциальную энергию U(r) очень тонкого однородного шарового слоя и частицы массы m, находящейся на расстоянии г от центра слоя. Масса слоя равна М, радиус R. Рассмотреть случаи: a) r<R, б) r>R.

1.231. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, найти взаимную потенциальную энергию U(r) толстого шарового слоя и частицы массы m, находящейся на расстоянии r от центра слоя. Масса слоя равна М, внутренний радиус R₁, внешний радиус R₂. 1. Рассмотреть случаи: а) r<R₁, б) r>R₂. 2. Какое заключение о силе F, действующей на частицу со стороны слоя, можно сделать на основании ответа на п. 1а?

1.232. С помощью каких данных можно определить массу: а) Земли, б) Солнца?

1.233. Воспользовавшись значениями астрономических величин и физических констант, вычислить массу m и среднюю плотность (ρ): а) Земли, б) Солнца.

1.234. Найти силу F, с которой притягиваются друг к другу: а) Земля и Солнце, б) Луна и Земля. Сравнить эти силы.

1.235. Считая, что Земля движется по круговой орбите, найти ускорение w, сообщаемое Земле Солнцем. Сравнить w c g.

1.236. Найти первую космическую скорость v₁ для Земли, т.е. скорость, которую нужно сообщить телу для того, чтобы оно стало спутником Земли.

1.237. Найти вторую космическую скорость v₂ для Земли, т.е. наименьшую скорость, которую надо сообщить телу для того, чтобы оно могло преодолеть действие земного притяжения и навсегда покинуть Землю. Сравнить v₂ с первой космической скоростью v₁.

1.238. В каком случае тело удалится на большее расстояние от Земли: а) при запуске вверх по вертикали со скоростью 10 км/с или б) при запуске под углом к горизонту, равным 5°, со скоростью 12 км/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.239. Определить, при каком радиусе орбиты R (в метрах) спутник может двигаться в плоскости экватора так, чтобы все время находиться над одной и той же точкой поверхности Земли. Сравнить R с радиусом Земли R₃.

1.240. Планета движется по круговой орбите. Найти связь между радиусом орбиты R и периодом Т обращения планеты вокруг Солнца.

1.241. Исходя из того, что радиус земной орбиты R_З=149,6*10⁶ км, а радиус орбиты Марса R_М=227,8*10⁶ км, найти период обращения Марса вокруг Солнца (выразить его в годах).

1.242. Считая Землю однородным шаром и пренебрегая вращением Земли, найти: а) ускорение свободного падения g(h) как функцию расстояния h от земной поверхности, б) значения этого ускорения для h, равных: 100, 1000, 10 000 км. Выразить найденные значения через g – ускорение вблизи поверхности Земли.

1.243. а) Найти потенциальную энергию U тела массы m, находящегося на расстоянии h от земной поверхности. Потенциальную энергию на высоте h=0 считать равной нулю. б) Получить приближенное выражение для U, справедливое при h<<R_З (R_З — радиус Земли).

1.244. Тело запущено с поверхности Земли под углом α=45° горизонту со скоростью v₀=5,20*10³ м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и вращением Земли, определить: а) высоту h, на которую поднимется тело над поверхностью Земли, б) скорость v тела в верхней точке траектории, в) радиус кривизны R_кр траектории в верхней точке.

1.246. В условиях предыдущей задачи найти: а) модуль ускорения тела w(r) как функцию расстояния r от центра земного шара, б) модуль скорости тела v(r) как функцию r, в) скорость тела v(0) в момент, когда оно достигает центра Земли; сравнить v(0) с первой космической скоростью. (см. задачу 1.236), г) время τ, спустя которое тело вернется в исходную точку; сравнить τ с временем t₁ за которое тело, движущееся с первой космической скоростью, облетает вокруг Земли, д) среднюю (по времени) скорость тела <v>; сравнить ее с v(0).

1.247. Для тела из задачи 1.245 найти: а) потенциальную энергию U{r) как функцию расстояния от центра земного шара (положить потенциальную энергию тела на бесконечно большом удалении от Земли равной нулю), б) потенциальную энергию U(0) которой обладает тело в центре Земли; сравнить U(0) с потенциальной энергией тела вблизи земной поверхности U(R).

1.248. Введем вращающуюся систему отсчета, ось которой проходит через центр Солнца и перпендикулярна к плоскости земной орбиты. Система вращается в ту же сторону, что и Земля, с угловой скоростью, в два раза большей, чем скорость вращения Земли. а) Какие силы нужно учесть, рассматривая в этой системе движение Земли относительно Солнца? б) Вычислить значение и указать направление этих сил. Сравнить их с силой F_g гравитационного притяжения Земли к Солнцу.

1.249. Определить силу F, с которой притягивает к себе Землю небольшое тело массы m, находящееся на экваторе недалеко от поверхности Земли. Ускорение свободного падения на экваторе считать известным и равным g_экв.