1.147. Точка 1 тела, вращающегося с угловой скоростью ω, имеет в некоторый момент времени скорость v₁. Найти для того же момента времени скорость v₂ точки 2, смещенной относительно точки 1 на r₁₂.

1.148. Тело совершает плоское движение в плоскости x, y. Центр масс тела С перемещается вдоль оси x с постоянной скоростью v₀. В момент t=0 центр масс совпадал с началом координат О. Одновременно тело вращается в указанном на рис. 1.26 направлении со скоростью ω. Написать выражение для радиус-вектора r точки пересечения мгновенной оси вращения тела с плоскостью x, y.

1.149. Балка массы m=300 кг и длины l=8,00 м лежит на двух опорах (рис. 1.27). Расстояния от концов балки до опор: l₁=2,00 м, l₂=1,00 м. Найти силы F₁ и F₂, с которыми балка давит на опоры.

1.150. Лестница длины l=5,00 м и массы m=11,2 кг прислонена к гладкой стене под углом α=70° к полу (рис. 1.28). Коэффициент трения между лестницей и полом k=0,29. Найти: а) силу F₁, с которой лестница давит на стену, б) предельное значение угла α₀, при котором лестница начинает скользить.

1.151. Протяженное тело произвольной формы брошено под некоторым углом к горизонту. Как движется центр масс тела в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь?

1.152. Невесомая нерастяжимая нить скользит без трения по прикрепленному к стене желобу (рис. 1.29) под действием грузов, массы которых m₁=1,00 кг и m₂=2,00 кг. С каким ускорением w_C движется при этом центр масс грузов?

1.153. На рис. 1.30 изображены две частицы 1 и 2, соединенные жестким стержнем. Могут ли скорости частиц быть такими, как на рисунке? Частицы и скорости лежат в плоскости рисунка.

1.154. Две частицы (материальные точки) с массами m₁ и m₂ соединены жестким невесомым стержнем длины l. Найти момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, преходящей через центр масс.

1.155. Найти момент инерции I однородного круглого прямого цилиндра массы m и радиуса R относительно оси цилиндра.

1.156. Плотность цилиндра длины l=0,100 м и радиуса R=0,0500 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения ρ₁=500 кг/м³ до ρ₂=3ρ₁=1500 кг/м³ значения Найти: а) среднюю по объему плотность <ρ>_v цилиндра; сравнить ее со средней по радиусу плотностью <ρ>_r, б) момент инерции I цилиндра относительно оси; сравнить его с моментом инерции I’ однородного цилиндра такой же массы и размеров.

1.157. Найти момент инерции I однородного шара радиуса R и массы m относительно оси, проходящей через центр шара.

1.158. Прямой круглый однородный конус имеет массу m и радиус основания R. Найти момент инерции I конуса относительно его оси.

1.159. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длины l и массы m относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через: а) центр масс стержня, б) конец стержня.

1.160. Найти момент инерции однородной прямоугольной пластинки массы m, длины a и ширины b относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через: а) центр пластинки, б) одну из вершин пластинки. Сравнить полученные результаты с ответом к предыдущей задаче.

1.161. Найти момент инерции I однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m, длина ребра a.

1.163. Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой служит квадрат со стороной a, относительно оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамиды равна m.

1.164. Найти отношение моментов инерции: а) пирамиды (с квадратным основанием) и конуса одинаковой высоты, плотности и массы, б) куба и шара одинаковой плотности и массы (у куба, как и у шара, момент инерции относительно любой проходящей через центр оси одинаков; см. задачу 1,162. Имеются в виду оси, проходящие через вершину и центр основания в случае а) и проходящие через центр в случае б).

1.165. Найти главные моменты инерции тонкого однородного диска массы m и радиуса R. Иметь в виду, что вычисление целесообразно производить в полярных координатах r и φ.

1.166. Вычислить момент инерции однородного круглого прямого цилиндра относительно оси, перпендикулярной к оси симметрии цилиндра и проходящей через его центр. Масса цилиндра m, радиус R, высота h. Сравнить полученный результат с ответами к задачам 1.159 и 1.165. Рассмотреть предельные случаи: R<<h и h<<R.

1.167. Имеется однородный прямой круглый цилиндр. При каком отношении высоты цилиндра h к его радиусу R все три главных момента инерции будут одинаковыми?

1.168. Найти момент инерции однородного тела, имеющего форму диска, в котором сделан квадратный вырез. Одна из вершин выреза совпадает с центром диска. Радиус диска R=20,0 см, сторона квадрата a=10,0 см, масса тела m=5,00 кг. Имеется в виду момент относительно оси, перпендикулярной к диску и проходящей через его центр.

1.169. Имеется однородная тонкая пластинка, ограниченная контуром произвольной формы. Через одну из точек пластинки проведены три взаимно перпендикулярные реи, две из которых – x и y - лежат в плоскости пластинки, а ось z перпендикулярна к этой плоскости. соотношение между моментами инерции пластинки относительно этих осей,

1.170. Использовать ответ предыдущей задачи для нахождения момента инерции I тонкого однородного диска относительно оси, лежащей в плоскости диска и проходящей через его центр. Масса и радиус диска равны соответственно m и R. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска, считать известным. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 1.165.

1.171. Однородная пластина имеет длину a=20,0 см, ширину b=10,0 см и толщину c=5,00 см. Масса пластины m=2,70 кг. Начало координат  помещено в центр пластины, ось х направлена параллельно стороне а, ось у - параллельно стороне b, ось z - параллельно стороне с. Найти относительно этой системы координат компоненты тензора инерции пластины и написать сам тензор.

1.172. Имеются вектор а с компонентами a_x=1, a_y=2, a_z=3 и тензор второго ранга Т, все компоненты которого одинаковы и равны T_ih=1. Найти компоненты вектора b, получающегося в результате умножения вектора a на тензор T (b=Ta).

1.173. Имеются произвольный вектор а с компонентами a_x, a_y, a_z и тензор второго ранга Е, (такой тензор называют единичным). Найти вектор b, получающийся в результате умножения вектора a на тензор E (b=Ea).

1.174. Вычислить компоненты тензора инерции и написать сам тензор для однородного шара радиуса R=10,0 см и массы m=25,0 кг для случая, когда начало координат помещается в центре шара.

1.175. В каких случаях момент импульса М и угловая скорость ω вращающегося тела коллинеарны?

1.176. В каких случаях уравнение динамики вращательного движения может быть представлено в виде lω=N?

1.177. В каких случаях кинетическая энергия вращающегося тела определяется выражением T=lω²/2?

1.178. Пластина из задачи 1.171 вращается вокруг оси, проходящей через ее центр. Компоненты угловой скорости ω_x=ω_y=ω_z=1,00 рад. Найти: а) модуль момента импульса пластины М и угол α между векторами ω и M, б) кинетическую энергию T пластины.

1.179. Две частицы одинаковой массы m, находящиеся все время на противоположных концах диаметра (рис. 1.31), движутся по окружности радиуса r с одинаковыми по модулю скоростями v₁ и v₂ [v₁=v₂=v(t)] а) Определить суммарный момент импульса М частиц относительно произвольной точки О (не обязательно лежащей в плоскости окружности). Выразить М через угловую скорость ω(t), с которой поворачивается диаметр, соединяющий частицы. б) Зависит ли М от выбора точки О?

1.180. Однородный шар радиуса R и массы m вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его центр. Найти момент импульса M шара относительно произвольной точки O (рис. 1.32).

1.181. Тело произвольной формы падает, вращаясь, в однородном поле сил тяжести. Сопротивление среды отсутствует. Как ведет себя собственный момент импульса тела? (См. задачу 1.123)

1.182. Однородный цилиндр радиуса R и массы m катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр цилиндра движется со скоростью v₀ (рис. 1.33). Найти модуль момента импульса цилиндра относительно точек 1,2 и 3, которые лежат в перпендикулярной к цилиндру плоскости, проходящей через его центр.

1.183. Вычислить момент импульса Земли M₀, обусловленный ее вращением вокруг своей оси. Сравнить этот момент с моментом импульса М, обусловленным движением Земли вокруг Солнца. Землю считать однородным шаром, а орбиту Земли — окружностью.

1.184. Горизонтально расположенный однородный цилиндр радиуса R вращается без трения вокруг оси, совпадающей с одной из его образующих. а) Указать положения цилиндра, в которых модуль углового ускорения цилиндра β максимален и минимален, б) Найти максимальное и минимальное значения β.

1.185. На горизонтальном столе лежат два тела, которые могут скользить по столу без трения. Тела связаны невесомой нерастяжимой нитью (рис. 1.34). Такая же нить, переброшенная через блок, связывает тело 2 с грузом массы m=0,500 кг. Блок представляет собой однородный сплошной цилиндр. Масса тел и блока одинакова и равна M=1,00 кг. а) Считая, что блок вращается без трения, а нить не проскальзывает по блоку, найти ускорение тел w, натяжение F₁₂ нити, связывающей оба тела, натяжение нити F₂ на участке от тела 2 до блока, натяжение нити F_m на участке от блока до груза m. б) Определить те же величины, предполагая, что блок не вращается, а нить скользит по нему без трения. Сравнить полученные результаты.

1.187. Тонкий стержень длины l=1,00 м и массы m=0,600 кг может вращаться без трения вокруг перпендикулярной к нему горизонтальной оси, отстоящей от центра стержня на расстояние a=0,100 м. Стержень приводится в горизонтальное положение и отпускается без толчка с нулевой начальной скоростью. Определить: а) угловое ускорение стержня β₀ и силу давления F₀ на ось в начальный момент времени, б) угловую скорость ω и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем положения равновесия.

1.188. Тонкий стержень массы m = 0,200 кг и длины l=1,00 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Трение в оси создает постоянный по модулю вращающий момент N. Выберем в качестве координаты, определяющей положение стержня, угол между стержнем и вертикалью, отсчитываемый от верхнего положения стержня. При значении этого угла, равном φ₀ = 10,0°, стержень начинает самопроизвольно поворачиваться. Найти: а) угловую скорость ω стержня в момент, когда стержень проходит через нижнее положение, б) модуль момента импульса М стержня в этот момент.

1.189. Столб высоты h=3,00 м и массы m=50,0 кг падает из вертикального положения на Землю. Определить модуль момента импульса M столба относительно точки опоры и скорость v верхнего конца столба в момент удара о Землю.

1.190. Линейка массы m=0,1200 кг и длины l=1,000 м лежит на гладком столе. По точке, отстоящей от центра линейки на расстояние a=40,0 см (рис. 1.35), наносится удар, при котором линейке сообщается импульс p=7,50*10^-2 кг*м/с. Считая удар «мгновенным» и пренебрегая трением, а) найти расстояние x от центра линейки до точки О, которая не «почувствует» удара, б) определить, как движется линейка непосредственно после удара.

1.191. Однородный шарик помещен на плоскость, образующую угол α=30,0° с горизонтом (рис. 1.36). 1. При каких значениях коэффициента трения k шарик будет скатываться с плоскости без скольжения? 2. Полагая k=0,100, а) определить характер движения шарика, б) найти значения скоростей точек А, В и С шарика спустя t=1,00 с после начала движения.

1.192. Однородному цилиндру сообщают начальный импульс, в результате чего он начинает катиться без скольжения вверх по наклонной плоскости со скоростью v₀=3,00 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол α=20,0°. а) Сколько времени t₁ будет двигаться цилиндр до остановки? б) На какую высоту h поднимется цилиндр? в) Сколько времени t₂ затратит цилиндр на скатывание вниз до исходного положения? г) Какую скорость v имеет цилиндр в момент возвращения в исходное положение? Сравнить полученные результаты с ответом к задаче 1.64.

1.193. Решить задачу 1.192 в предположении, что на цилиндр действует постоянный по модулю момент силы трения качения . Масса цилиндра 1,00 кг, радиус 0,100 м. Помимо F указанных в предыдущей задаче величин, определить: д) какую работу А совершает сила трения качения на всем пути снизу вверх и обратно. Сравнить полученные результаты с ответами к предыдущей задаче и к задаче 1.65.

1.194. На горизонтальной плоскости лежит катушка, масса которой m=50,0 г, а момент инерции относительно ее оси I=5,00*10^-6 . На катушку намотана практически невесомая и нерастяжимая нить (рис. 1.37). Радиус внешнего слоя витков r=2,00 см, радиус торцов катушки R=3,00 см. Коэффициент трения между катушкой и плоскостью k=0,200. За нить тянут с силой t. 1. Найти условие для силы F, при котором катушка катится по плоскости без скольжения. 2. Как ведет себя катушка, если сила F и угол α имеют значения: а) F=0,128 Н, α=30,0°, б) F=0,100 Н, α=48,2°, в) F=0,100 Н, α=30,0°, а) F=0,100 Н, α=60,0°. Для всех случаев определить w_x - проекцию на ось х ускорения оси катушки.

1.195. Однородный сплошной цилиндр массы m=1,00 кг висит в горизонтальном положении на двух намотанных на него невесомых нитях (рис. 1.38). Цилиндр отпускают без толчка. а) За сколько времени t цилиндр опустится на расстояние h=50,0 см? б) Какое натяжение F испытывает при опускании цилиндра каждая из нитей?

1.196. Блок радиуса R может вращаться вокруг своей оси с трением, характеризуемым вращающим моментом N_тр, который не зависит от скорости вращения блока. На блок намотана прикрепленная к нему одним концом практически невесомая нерастяжимая нить, к другому концу которой подвешен груз массы m (рис. 1.39). Груз отпускают без толчка и он начинает опускаться, раскручивая блок. Найти момент импульса M(t) этой системы тел относительно оси блока спустя время t после начала ее движения.

1.197. Найти момент импульса М относительно оси блока и кинетическую энергию T системы из предыдущей задачи в момент, когда скорость груза массы m равна v. Момент инерции блока принять равным I.

1.198. Имеются два одинаковых однородных диска. Один из них может вращаться без трения вокруг вертикальной фиксированной оси, проходящей через его центр. Этот диск первоначально неподвижен. Второй диск раскручивают, сообщив ему угловую скорость ω₀, и роняют в горизонтальном положении на первый диск так, что край одного из дисков совпадает с центром другого. Придя в соприкосновение, диски мгновенно склеиваются. Определить: а) угловую скорость ω, с которой будет вращаться образовавшаяся система, б) как изменится кинетическая энергия дисков.

1.199. Горизонтально расположенный деревянный стержень массы m=0,800 кг и длины l=1,80 м может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. В конец стержня попадает и застревает в нем пуля массы m'=3,00 г, летящая перпендикулярно к оси и к стержню со скоростью v=50,0 м/с. Определить угловую скорость ω, с которой начинает вращаться стержень.

1.200. Решить задачу 1.199, заменив пулю пластмассовым шариком такой же массы и движущимся с той же скоростью. Удар считать абсолютно упругим. Определить: а) угловую скорость ω стержня, б) скорость v’ шарика после удара. Результат, полученный для ω, сравнить с ответом к задаче 1.199.

1.201. Горизонтальный диск массы m и радиуса R может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На краю диска стоит человек массы m'. Вначале диск и человек неподвижны. Затем человек начинает идти по краю диска со скоростью v' относительно диска. С какой скоростью ω вращается при этом диск относительно неподвижной системы отсчета? Размерами человека по сравнению с R можно пренебречь.

1.202. Тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью ω=ω(t). На тело действует момент сил N_z=N_z(t). Написать выражение для работы, совершенной приложенными к телу силами за промежуток времени от t₁ до t₂.

1.203. Расположенный горизонтально однородный круглый цилиндр массы m = 10,00 кг вращается без трения вокруг своей оси под действием груза массы m’=1,000 кг, прикрепленного к легкой нерастяжимой нити, намотанной на цилиндр. Найти кинетическую энергию T системы спустя t=3,53 с после начала движения.

1.204. Вытащенное из колодца ведро с водой уронили, и оно стало опускаться вниз, раскручивая ворот. Трение в подшипниках ворота создает постоянный вращающий момент N=0,170 Н*м. Масса ведра с водой m=13,2 кг. Масса ворота m’=43,1 кг, радиус ворота r=12,8 см. Расстояние от края сруба до поверхности воды в колодце h=7,0 м. Определить: а) по какому закону изменяется со временем угловая скорость ω вращения ворота, б) натяжение веревки F во время опускания ведра, в) через сколько времени t ведро коснется воды в колодце, г) какую скорость v будет иметь ведро в конце падения, д) какую работу А совершают силы трения за время падения ведра. Ворот считать сплошным однородным цилиндром. Массой и толщиной веревки, массой рукоятки ворота, а также сопротивлением воздуха пренебречь.

1.205. Расположенный горизонтально однородный цилиндр радиуса R может вращаться вокруг оси, совпадающей с его геометрической осью. Трение в оси создает не зависящий от скорости вращения момент N_тр. К цилиндру прикреплена точечная масса m’ (рис. 1.40). Цилиндр устанавливают так, чтобы масса оказалась на уровне оси, и отпускают без толчка. Определить, при каком значении m’: а) цилиндр придет во вращение, б) сделав 1/4 оборота, цилиндр остановится.

1.206. Диск массы m и радиуса R первоначально вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Под действием внешних сил диск останавливается. Чему равна работа А внешних сил?

1.207. Однородный цилиндр массы m и радиуса R вращается вокруг своей оси. Угловая скорость цилиндра изменяется за время t от значения ω₁ до значения ω₂. Какую среднюю мощность <Р> развивают силы, действующие на цилиндр?

1.208. Ротор некоторого агрегата снабжен дисковым тормозом. Этот тормоз состоит из двух дисков радиуса R = 150 мм, один из которых закреплен на конце оси ротора, а другой, лишенный возможности вращаться, может прижиматься к первому с силой F=100 Н. Тормоз включают в момент, когда ротор вращается по инерции со скоростью ω=50,0 рад/с (трением в подшипниках можно пренебречь). Момент инерции ротора вместе с укрепленным на нем диском тормоза I=0,628 кг*м². Коэффициент трения между поверхностями дисков не зависит от их относительной скорости и равен k=0,250. Считая, что сила F равномерно распределяется по поверхности дисков, определить, сколько оборотов N успеет сделать ротор до остановки.

1.209. Гироскоп в виде однородного диска радиуса R=8,00 см вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω=3,00*10² рад/с. Угловая скорость прецессии гироскопа ω’=1,00 рад/с. Определить расстояние l от точки опоры до центра масс гироскопа. Моментом инерции оси гироскопа пренебречь.

1.210. Гироскоп массы m = 1,000 кг, имеющий момент инерции I=4,905*10^-3 кг*м², вращается с угловой скоростью 100,0 рад/с. Расстояние от точки опоры до центра масс l=5,00 см. Угол между вертикалью и осью гироскопа α=30,0°. Найти: а) модуль угловой скорости прецессии ω’, б) модуль углового ускорения гироскопа β.

1.211. Поместив начало координат в точку опоры гироскопа и направив ось z вверх по вертикали, а) найти угловое ускорение β гироскопа из предыдущей задачи; считать, что в начальный момент ось гироскопа находилась в плоскости х, z; б) вычислив скалярное произведение ωβ, определить, как направлен вектор β.

1.212. Гироскоп, вращающийся вокруг оси симметрии с угловой скоростью ω=100 рад/с, прецессирует в поле земного тяготения с угловой скоростью ω’=1,00 рад/с. Угол между вертикалью и осью гироскопа α = 30,0°. Определить угол φ между осью симметрии и направлением угловой скорости гироскопа Ω (см. задачу 1.49). Решить задачу методом последовательных приближений, положив φ в нулевом приближении равным нулю.