1.251. Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой а и периодом Т. Найти: а) время t₁ за которое смещение частицы изменяется от 0 до а/2, б) время t₂, за которое смещение изменяется от а/2 до а.

1.252. Частица колеблется вдоль оси x по закону x=0,100 sin 6,28t (м). Найти среднее значение модуля скорости частицы <v>: а) за период колебания Т, б) за первую 1/8 часть Т, в) за вторую 1/8 часть Т. Сопоставить полученные значения.

1.253. Для частицы из задачи 1.252 найти среднее значение вектора скорости <v>: а) за период колебания Т, б) за первую четверть Т, в) за вторую четверть Т.

1.254. Как, зная амплитуду смещения а и амплитуду скорости найти частоту гармонического колебания ω?

1.255. Как, зная амплитуду скорости v_m и амплитуду ускорения ω_m, найти амплитуду а и частоту ω гармонического колебания?

1.256. Горизонтальная платформа совершает в вертикальном направлении гармоническое колебание x=a cos ωt. На платформе лежит шайба из абсолютно неупругого материала. а) При каком условии шайба будет отделяться от платформы? б) В каком положении находится и в каком направлении движется платформа в момент отрыва от нее шайбы? в) На какую высоту h будет подниматься шайба над ее положением, отвечающем среднему положению платформы, в случае, если a=20,0 см, ω=10,0 с^-1?

1.257. Найти средние значения sin²x и cos²x на промежутке от α до α+nπ (α - произвольный угол, n - целое число).

1.258. Чему равна при гармоническом колебании работа А квазиупругой силы за время, равное периоду колебаний?

1.259. а) Найти уравнение, связывающее значения импульса p_x=mx со значениями координаты x одномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятора m, частота ω, амплитуда колебания а. б) Нарисовать кривую, описываемую этим уравнением. в) Выразить площадь S, ограниченную этой кривой, через энергию осциллятора Е.

1.260. Определить частоту ω малых колебаний частицы из задачи 1.92, возникающих в том случае, если частицу сместить в радиальном направлении из положения устойчивого равновесия. Массу частицы принять равной m.

1.261. а) При какой длине l период колебаний математического маятника будет равен 1 с? б) Чему равен период колебаний T математического маятники длины l = 1 м?

1.262. Роль физического маятника выполняет тонкий стержень, подвешенный за один из его концов. а) При какой длине стержня период колебаний этого маятника будет равен 1 с? б) Чему равен период колебаний m при длине стержня в 1 м?

1.263. На каком расстоянии х от центра нужно подвесить тонкий стержень заданной длины l, чтобы получить физический маятник, колеблющийся с максимальной частотой? Чему равно значение ω_max этой частоты?

1.264. Найти закон, по которому изменяется со временем натяжение F нити математического маятника, совершающего колебание φ=φ_mcos ωt. Масса маятника равна m, длинаl.

1.265. В неподвижной кабине лифта качается маятник. Вследствие обрыва троса кабина начинает падать с ускорением g. Как ведет себя маятник относительно кабины лифта, если в момент обрыва троса он а) находился в одном из крайних положений, б) проходил через положение равновесия?

1.266. В кабине лифта подвешен маятник, период колебаний которого, когда лифт неподвижен, равен T₀. а) Каков будет период T колебаний маятника, если лифт станет опускаться с ускорением, равным ¾ g? б) С каким ускорением ω нужно поднимать лифт для того, чтобы период колебаний маятника был равен ½ T₀?

1.267. В кабине самолета подвешен маятник. Когда самолет летит без ускорения, маятник качается с частотой ω₀. а) Какова будет частота ω колебаний маятника, если самолет летит с ускорением w, направление которого образует с направлением вниз по вертикали угол α? б) Найти ω для случая, когда w=g и α=π/2.

1.268. Найти период колебаний T математического маятника, длина подвеса которого l равна радиусу Земли R_З. Сравнить полученный результат с ответом к задаче 1.246, п. г).

1.269. Физический маятник устанавливают так, что его центр масс располагается над точкой подвеса. Из этого положения маятник начинает двигаться без трения с нулевой начальной скоростью. В момент прохождения через нижнее положение угловая скорость маятника достигает значения φ_max. Найти собственную частоту ω₀ малых колебаний этого маятника.

1.270. Шарик массы m=50,0 г подвешен на пружина жесткости k=49,3 Н/м. Шарик поднимают до такого положения, при котором пружина не напряжена, и отпускают без толчка. Пренебрегая трением и массой пружины, а) найти период T и амплитуду а возникших колебаний, б) направив ось х вниз и совместив точку х=0 с начальным положением шарика, написать уравнение движения шарика.

1.271. Пренебрегая трением, определить частоту ω малых колебаний ртути, налитой в U-образную трубку с внутренним сечением S=0,500 см² (рис. 1.41). Масса ртути m=136 г.

1.272. Деревянный молоток состоит из цилиндрического бойка радиуса R = 4,00 см и рукоятки длины l=90,0 см. Масса бойка m₁ = 0,800 кг, масса рукоятки m₂ = 0,600 кг. Молоток положен на два параллельных бруска (рис.). Найти период m малых колебаний этой системы.

1.273. Бревно массы M=20,0 кг висит на двух шнурах длины l=1,00 м каждый (рис. 1.43). В торец бревна ударяет и застревает в нем пуля массы m=10,0 г, летящая со скоростью v=500 м/с. Найти амплитуду φ_m и период T возникших колебаний этой системы. Трением пренебречь.

1.274. Шар массы m=2,00 кг подвешен к двум соединенным последовательно пружинам (рис. 1.44). Жесткость пружин равна: k₁=1000 Н/м, k₂=3000 Н/м. Пренебрегая массой пружин и трением, найти: а) частоту ω малых колебаний шара, б) амплитуду а колебаний, возникающих в том случае, если шар установить на уровне, при котором пружины не напряжены, и отпустить без толчка.

1.275. Блок показанного на рис. 1.45 устройства представляет собой сплошной однородный цилиндр, который может вращаться вокруг оси без ощутимого трения. Масса блока M=5,00 кг. Жесткость пружины k=1000 Н/м. Массой пружины и переброшенного через блок шнура можно пренебречь. Масса висящего на шнуре груза m=1,00 кг. Полагая, что проскальзывание шнура по блоку отсутствует, найти: а) частоту ω малых колебаний устройства, б) максимальную силу натяжения шнура слева (F_1m) и справа (F_2m) от блока в случае, когда амплитуда колебаний a=5,00 мм.

1.276. Два шара массами и m₁ и m₂ могут скользить без трения по тонкому горизонтальному стержню (рис. 1.46). Шары связаны невесомой пружиной жесткости k. Сместив шары в противоположные стороны, их отпускают без толчка. Определить: а) как ведет себя центр масс системы, б) частоту ω возникших колебаний, в) максимальное значение относительной скорости шаров v_max, если начальное относительное смещение шаров равно a.

1.277. Два шара массами m₁ и m₂ могут скользить без трения по длинной натянутой горизонтально проволоке (см. рис. 1.46). Шары связаны невесомой пружиной жесткости k. Первоначально система неподвижна и пружина не напряжена. Первому шару сообщается импульс p₀=m₁v₀. Определить: а) скорость v_C центра масс системы, б) энергию E_пост поступательного и E_колеб колебательного движения системы, в) частоту ω и амплитуду a колебаний.

1.278. Однородный диск массы m=3,00 кг и радиуса R=20,0 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен неподвижно (рис. 1.47). Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момента к углу закручивания) k=6,00 Н*м/рад. Определить: а) частоту ω малых крутильных колебаний диска, б) амплитуду φ_m и начальную фазу α колебаний, если в начальный момент φ=0,0600 рад, φ=0,800 рад/с.

1.279. Два диска могут вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Радиус дисков одинаков и равен R = 0,500 м. Массы дисков равны: m₁ = 2,00 кг и m₂ = 3,00 кг. Диски соединены пружиной, у которой коэффициент пропорциональности между возникающим вращательным моментом и углом закручивания равен k = 5,91 Н*м/рад. Диски поворачивают в противоположные стороны и отпускают. Чему равен период m крутильных колебаний дисков? Диаметром оси пренебречь.

1.280. По диаметру горизонтального диска может перемещаться, скользя без трения по направляющему стержню, небольшая муфта массы m=0,100 кг. Муфта «привязана» к концу стержня с помощью невесомой пружины, жесткость которой k=10,0 Н/м (рис. 1.48). Если пружина не напряжена, муфта находится в центре диска. Найти частоту ω малых колебаний муфты в том случае, когда диск вращается вокруг своей оси с угловой скоростью φ с точкой, равной: а) 6,00 рад/с, б) 10,1 рад/с.

1.281. К куполу зала подвешен на легком нерастяжимом шнуре шар массы m=5,00 кг. Длина подвеса l=9,81 м. Шар отвели в сторону вдоль некоторого направления x на расстояние a=30,0 см и сообщили ему в перпендикулярном к x направлении y импульс p=2,00 кг*м/с. Пренебрегая трением, найти уравнение траектории, по которой будет двигаться центр шара.

1.282. За 10 с амплитуда свободных колебаний уменьшается в 10 раз. За какое время τ амплитуда уменьшится в 100 раз?

1.283. За 1,00 с амплитуда свободных колебаний уменьшается в 2 раза. В течение какого промежутка времени τ амплитуда уменьшится в 10 раз?

1.284. За время t=16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в η=5,00 раз. а) Найти коэффициент затухания колебаний β. б) За какое время τ амплитуда уменьшится в e раз?

1.285. За 100 с система успевает совершить 100 колебаний. За то же время амплитуда колебаний уменьшается в 2,718 раз. Чему равны: а) коэффициент затухания колебаний β, б) логарифмический декремент затухания λ ,в) добротность системы Q, г) относительная убыль энергии системы -ΔE/E за период колебаний?

1.286. За время, в течение которого система совершает N = 100 колебаний, амплитуда уменьшается в η = 5,00 раз. Найти добротность системы Q.

1.287. Добротность некоторой колебательной системы Q=2,00, частота свободных колебаний ω=100 с^-1. Определить собственную частоту колебаний системы ω₀.

1.288. Затухающие колебания частицы были возбуждены путем смещения ее из положения равновесия на расстояние a₀=1,00 см. Логарифмический декремент затухания λ=0,0100. При столь слабом затухании можно с большой степенью точности считать, что максимальные отклонения от положения равновесия достигаются в моменты времени t_n=( T/2)n (n=0, 1, 2, . . .). В этом приближении найти путь s, который пройдет частица до полной остановки.

1.289. Частота свободных колебаний некоторой системы ω=100,0 с^-1, резонансная частота ω_рез=99,0 с^-1. Определить добротность Q этой системы.

1.290. Железный стержень, подвешенный к пружине, будучи выведен из положения равновесия, совершает свободные колебания частоты ω’=20,0 с^-1, причем амплитуда колебаний уменьшается в η=2 раз в течение времени τ=1,11 с. Вблизи нижнего конца стержня помещена катушка, питаемая переменным током (рис. 1.49). При частоте тока ω=11,0 с^-1 стержень колеблется с амплитудой а=1,50 мм. а) При какой частоте тока ω_рез колебания стержня достигнут наибольшей интенсивности? б) Какова будет амплитуда a_рез колебаний при этой частоте? Предполагается, что амплитуда вынуждающей силы неизменна. Учесть, что частота вынуждающей силы равна удвоенной частоте изменений тока в катушке.

1.291. Под действием вынуждающей силы F_x=F_m cos ωt система совершает установившиеся колебания, описываемые функцией x=a cos (ωt-φ). а) Найти работу A_вын вынуждающей силы за период. б) Показать, что работа силы трения за период A_тр=-A_вын.

1.292. При неизменной амплитуде вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний при частотах ω₁=100 с^-1 и ω₂=300 с^-1 оказывается одинаковой. Найти резонансную частоту ω_рез.

1.293. При неизменной амплитуде вынуждающей силы амплитуда скорости при частотах ω₁=100 с^-1 и ω₂=300 с^-1 оказывается одинаковой. Найти частоту ωрез, при которой амплитуда скорости максимальна.