1.1. Частица движется с постоянной скоростью v. Что определяет выражение: a) v(t₂-t₁), б) v(t₂-t₁), в) v_x(t₂-t₁)?

1.2. Частица движется с постоянным ускорением w. В начальный момент времени она находилась в точке с радиус-вектором r0 и имела скорость v0. Написать выражение для: а) приращения скорости частицы dv за время t, б) проекции скорости частицы на ось у в момент времени t, в) перемещения частицы за время t, г) приращения координаты z частицы за время.

1.3. В каком случае векторы а и b могут быть связаны соотношением a = αb, где α - скаляр? Как соотносятся их орты, если а₀?

1.4. Может ли приращение модуля вектора Δа оказаться равным модулю приращения вектора |Δа|?

1.5. В каком соотношении находятся приращение модуля вектора и модуль приращения вектора |Δа|, если векторы а и Δа направлены в противоположные стороны?

1.6. Вектор а изменил направление на обратное. Найти: Δa, |Δa|, Δa.

1.7. Вектор а повернулся без изменения «длины» на малый угол δφ. а) Написать приближенное выражение для |Δа|. б) Чему равно Δа?

1.8. Начальное значение скорости равно v₁=1e_x+3e_y+5e_z (м/с), конечное v₂=2e_x+4e_y+6e_z (м/с). Найти: а) приращение скорости Δv, б) модуль приращения скорости |Δv|, в) приращение модуля скорости Δv.

1.9. Написать выражение для косинуса угла α между векторами с компонентами a_x, a_y, a_z и b_x, b_y, b_z.

1.10. Компоненты одного вектора равны (1, 3, 5), другого - (6, 4, 2). Найти угол α между векторами.

1.11. Преобразовать к виду, содержащему только модули векторов и угол α, выражение a [bc], в котором векторы а и с взаимно перпендикулярны, а вектор b образует с нормалью к плоскости, в которой лежат векторы а и с, угол α.

1.12. Заданы функции v_x(t), v_y(t) и v_z(t), определяющие в некоторой системе координат скорость частицы v. Написать выражение для: а) перемещения частицы Δr за промежуток времени от t₁ до t₂, б) пути s, пройденного частицей за тот же промежуток времени, в) приращения Δх координаты х частицы за время от t₁ до t₂. г) среднего значения ускорения частицы <w> за то же время.

1.13. Частица 1 движется со скоростью v₁ = ae_x, частица 2 — со скоростью v₂=be_y (a и b — константы). Найти скорость v второй частицы относительно первой и модуль v этой скорости.

1.15. Частица движется равномерно по часовой стрелке по окружности радиуса R, делая за время τ один оборот. Окружность лежит в координатной плоскости x, y, причем центр окружности совпадает с началом координат. В момент t = 0 частица находится в точке с координатами x = 0, y = R. Найти среднее значение скорости точки за промежуток времени: а) от 0 до τ/4, б) от 0 до τ/2, в) от 0 до 3τ/4, г) от 0 до τ, д) от τ/4 до 3τ/4.

1.16. Частица прошла за некоторое время 3/4 окружности со средним значением модуля скорости (v). Найти модуль средней скорости частицы |<v>| за то же время.

1.17. Первоначально покоившаяся частица прошла за время 10,0 с полторы окружности радиуса 5,00 м с постоянным тангенциальным ускорением. Вычислить соответствующие этому промежутку времени значения: а) среднего модуля скорости <v>, б) модуля средней скорости |<v>|, в) модуля среднего ускорения |<w>|.

1.18. Постоянный по модулю вектор а, равномерно поворачиваясь против часовой стрелки в плоскости х, у, переходит за время из положения, при котором он совпадает по направлению с осью х, в положение, при котором он совпадает по направлению с осью у. Найти среднее за время значение вектора а и модуль этого среднего.

1.19. Радиус-вектор точки r изменяется: а) только по модулю, б) только по направлению. Что можно сказать о траектории?

1.20. Радиус-вектор частицы определяется выражением: r=3t²e_x+4t²e_y+7e_z (м). Вычислить: а) путь s, пройденный частицей за первые 10 секунд движения, б) модуль перемещения |Δr| за то же время, в) объяснить полученные результаты.

1.21. Радиус-вектор частицы изменяется со временем по закону: r=3t²e_x+2te_y+1e_z (м). Найти: а) скорость v и ускорение w частицы, б) модуль скорости v в момент t=1 с, в) приближенное значение пути s, пройденного частицей за 11-ю секунду движения.

1.22. Частица движется со скоростью v=1e_x+2te_y+3t²e_z (м/с). Найти: а) перемещение Δr частицы за первые 2 секунды ее движения, б) модуль скорости v в момент t=2 с.

1.23. Частица движется со скоростью v=at(2e_x+3e_y+4e_z) (a =1,00 м/с²). Найти: а) модуль скорости v частицы в момент времени t=1,00 с, б) ускорение частицы w и его модуль w, в) путь s, пройденный частицей с момента t₁=2,00 с до момента t₂=3,00 с, г) какой характер имеет движение частицы.

1.24. Лифт начал подниматься с постоянным ускорением w=1,00 м/с². Спустя время t=1,00 с от потолка кабины лифта отделился и стал падать шуруп. Определить: а) время Δt падения шурупа до удара о пол кабины, б) путь s, пройденный шурупом за время Δt в системе отсчета, связанной с Землей. Высота кабины лифта h=2,75 м.

1.25. Известна функция v(t) для частицы, движущейся по криволинейной траектории. Написать выражение для радиуса кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент t?

1.26. Частица движется равномерно по криволинейной траектории. Модуль ее скорости равен v. Найти радиус кривизны R траектории в той точке, где модуль ускорения частицы равен w.

1.27. По какой траектории движется частица в случае, если ω_τ = 0, ω_n = const?

1.28. В некоторый момент времени t компоненты скорости v частицы имеют значения (1,00, 2,00, -3,00) (м/с), а компоненты ускорения w — (-3,00, 2,00, 1,00) (м/с²). Найти: а) значение выражения dv/dt в момент t, б) радиус кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент t.

1.29. Точка движется вдоль оси x, причем координата x изменяется по закону x=a cos(2π/T)t. Найти: а) выражения для проекций на ось х скорости v и ускорения w точки, б) путь s₁, пройденный точкой за промежуток времени от t=0 до t=T/8, в) путь s₂, пройденный точкой за промежуток времени от t=T/8 до t=T/4, г) путь s, пройденный точкой за промежуток времени от t=0 до t=T.

1.30. Компоненты скорости частицы изменяются со временем по законам: v_x=a cos ωt, v_y=a sin ωt, v_z=0, где а и ω — константы. Найти модули скорости v и ускорения w, а также угол α между векторами v и w. На основании полученных результатов сделать заключение о характере движения частицы.

1.31. Зависимость координат движения частицы от времени имеет вид x=a cos ωt, y=a sin ωt, z=0 (а и ω — константы). а) Определить радиус-вектор r, скорость v и ускорение w частицы, а также их модули. б) Вычислить скалярное произведение векторов r и v. Что означает полученный результат? в) Вычислить скалярное произведение векторов r и w. Что означает полученный результат? г) Найти уравнение траектории частицы. д) В каком направлении движется по траектории частица? е) Охарактеризовать движение частицы. ж) Как изменится движение частицы, если в выражении для y изменить знак на обратный?

1.32. Небольшое тело (материальная точка) брошено из точки О под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀ (рис. 1.1). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время полета τ, б) дальность полета l, в) наибольшую высоту поднятия тела h, г) уравнение траектории тела в координатах x', y', д) значения |dv/dt| и d|v|/dt в вершине траектории, е) радиус кривизны R траектории в точках О и О'. Точки бросания и падения считать лежащими на одном уровне.

1.33. Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти среднее значение скорости <v> за первые τ секунд полета.

1.34. Под каким углом α к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии l=10,0 км, если начальная скорость снаряда v₀=500 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.35. Известны: функция f(s), определяющая зависимость производной dv/dt от пройденного частицей пути s, модуль скорости v₀ в начале пути. Написать выражение для v(s) — модуля скорости, которую имеет частица, пройдя путь s.

1.36. Дана функция v(s), определяющая зависимость модуля скорости частицы от пройденного частицей пути s. Написать выражение для времени t, затрачиваемого частицей на прохождение пути s.

1.37. Зависимость модуля скорости частицы v от пройденного частицей пути s определяется функцией v(s)=v₀-bs. а) Найти зависимость s от времени t. б) Определить зависимость v от t. в) Написать приближенные выражения для s(t) и v(t), справедливые для t<<1/b.

1.38. Модуль скорости частицы изменяется со временем по закону v=v₀e^-bt. Каков физический смысл константы b?

1.39. Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды, перпендикулярной к берегам скоростью v=0,300 м/с. Ширина реки равна b=63,0 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону u=u₀-4u₀(x-b/2)²/b², где х — расстояние от берега, u₀ — константа, равная 5,00 м/с. Найти снос s лодки вниз по течению от пункта ее отправления до места причала на противоположном берегу реки.

1.40. Ось x на рис. 1.2 служит границей между участком, поросшим травой, и участком, покрытым рыхлым песком. Пешеходу нужно попасть из пункта А в пункт В. По траве пешеход может идти со скоростью v₁=5,00 км/ч, по песку — со скоростью v₂=3,00 км/ч. Чтобы совершить переход за самое короткое время, пешеход выбирает ломаный путь АОВ. При каком соотношении между синусами углов α₁ и α₂ время движения пешехода из A в B будет минимальным?

1.41. Ниже приводятся приближенные выражения для некоторых функций, справедливые при x<<1: a) 1/(1 ± x) ≈ 1 ± x, б) sqrt(1 ± x) ≈ 1 ± x/2, в) e^{± x} ≈ 1 ± x, г) ln(1 ± x) ≈ ± x, д) sin x ≈ x, е) cos x ≈ 1 - x²/2. Определить для x=0,1 относительную погрешность значений этих функций, найденных по формулам для приближенных вычислений.

1.42. По прямой дороге АВ движется с постоянной скоростью u=20,0 м/с автомобиль. Из точки С, которая находится от АВ на расстоянии l=2000 м, в момент, когда автомобиль и точка С оказываются на одном перпендикуляре к АВ, производится выстрел из пушки (рис. 1.3). Предполагая, что снаряд летит прямолинейно с постоянной скоростью v=200 м/с, определить: а) угол α, на который нужно повернуть ствол пушки, чтобы поразить автомобиль, б) время t полета снаряда, в) путь s, который пройдет автомобиль за время t.

1.43. Имеются две моторные лодки, развивающие относительно воды скорость v = 5,00 м/с. Вода течет с одинаковой по всей ширине реки скоростью v = 0,500 м/с. Ширина реки l = 1 км. На середине реки вбиты две сваи С и D, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ширине реки l (рис 1.4). Одной лодке нужно пересечь реку строго в поперечном направлении из точки А в точку В и обратно. Второй лодке нужно проделать путь от сваи С до сваи D и обратно. а) Как должна двигаться первая лодка относительно воды, чтобы относительно, берегов перемещаться вдоль прямой АВ? б) Найти времена t₁ и t₂, затрачиваемые на прохождение пути 2l первой и второй лодками. в) Получить для t₁ и t₂ приближенные выражения, справедливые для u<<v. Найти с помощью этих выражений значения t₁ и t₂; сравнить их с точными значениями.

1.44. На высоте h=5000 м летит прямолинейно самолет с постоянной скоростью u=100,0 м/с. В момент, когда он находится над зенитной батареей, производится выстрел (рис. 1.5). Начальная скорость снаряда v₀=500,0 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) под каким углом α к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы снаряд и самолет достигли одновременно точки пересечения их траекторий, б) на какую продолжительность полета t нужно установить взрыватель, чтобы, снаряд разорвался в точке встречи с целью, в) на какое расстояние s по горизонтали отстоит от батареи точка встречи.

1.45. Известно, что Луна все время обращена к Земле одной и той же стороной и обращается вокруг Земли за 27,3 суток. Определить угловую скорость ω_Л вращения Луны вокруг ее оси. Сравнить эту скорость с угловой скоростью ω_З суточного вращения Земли.

1.46. Часы каждые сутки отстают на 2 минуты. Чему равно угловое ускорение β минутной стрелки?

1.47. Постоянный по модулю вектор a вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг фиксированной перпендикулярной к нему оси. Выразить производные a’ и a’’ через векторы a и ω.

1.48. Цилиндр катится без скольжения со скоростью v (рис. 1.6). Найти скорости точек 1, 2 и 3, выразить их через орты координатных осей.

1.49. Шар вращается с угловой скоростью ω вокруг оси, которая поворачивается в плоскости х, у с угловой скоростью ω’ = ω’ * e_z (рис. 1.7). Найти: а) угловую скорость Ω и угловое ускорение β шара, а также модули этих векторов, б) угол α между векторами Ω и ω, в) угол φ между векторами β и Ω. Считать, что в начальный момент времени вектор ω направлен по оси х.

1.50. Тело участвует в двух вращениях, происходящих со скоростями ω₁ = at²e_x и ω₂ = 2at²e_y. а) На какой угол φ повернется тело за первые 3,00 с? б) Вокруг какой оси произойдет этот поворот?

1.51. Якорь электромотора, вращавшийся с частотой n = 50 с^-1 , двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав полное число оборотов N = 1680. Найти угловое ускорение β якоря.

1.52. До начала торможения автомобиль имел скорость v₀ = 60 км/ч. После начала торможения автомобиль двигался прямолинейно с непостоянным ускорением и остановился спустя время t = 3,00 с. За это время он прошел путь s = 20,0 м. Определить среднюю угловую скорость <ω> и среднее угловое ускорение <β> колеса автомобиля за время торможения. Радиус колеса R = 0,23 м.

1.53. Частица движется по радиусу вращающегося диска со скоростью v = 3.00 м/с. В начальный момент времени частица находится в центре диска. Угловая скорость вращения диска ω = 20,0 рад/с. Найти приближенное значение пути s, пройденного частицей в неподвижной системе отсчета за время с момента t₁ = 9,00 с до момента t₂ = 10,00 с.