38. Определите импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона; 2) электрона, если длина волны того и другого равна 10¹⁰ м.

39. Определите длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.

40. Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при T = 290 К.

41. Протон движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 15 мТл по окружности радиусом R = 1,4 м. Определите длину волны де Бройля для протона.

42. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля λ для него была равна 1 нм.

43. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 500 В, имеет длину волны де Бройля λ = 1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определите ее массу.

44. Выведите зависимость между длиной волны де Бройля λ релятивистской частицы и ее кинетической энергией.

45. Выведите зависимость между длиной волны де Бройля λ релятивистского электрона и ускоряющим потенциалом U.

46. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину волны де Бройля.

47. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определите длину волны де Бройля.

48. Определите, при каком числовом значении скорости длина волны де Бройля для электрона равна его комптоновской длине волны.

49. Определите, при каком числовом значении кинетической энергии T длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине волны.

50. Выведите связь между длиной круговой электронной орбиты и длиной волны де Бройля.

51. Определите, как изменится длина волны де Бройля электрона в атоме водорода при переходе его с четвертой боровской орбиты на вторую.

52. В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки — монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол α = 55° с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при кинетической энергии электронов T = 180 эВ. Определите расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.

53. Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d = 0,15 нм. Определите скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения ν = 30° .

54. Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен нормально на узкую щель шириной a = 1 мкм. Определите скорость этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянии l = 20 см от щели, ширина центрального дифракционного максимума составляет Δx = 48 мкм.

55. Параллельный пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов U = 50 В. направлен нормально на две параллельные, лежащие в одной плоскости щели, расстояние d между которыми равно 10 мкм. Определите расстояние между центральным и первым максимумом дифракционной картины на экране, который расположен от щелей на расстоянии l = 0,6 м.

56. Исходя из общей формулы для фазовой скорости ( Vфаз = w/k ), определите фазовую скорость волны де Бройля свободно движущейся с постоянной скоростью v частицы в нерелятивистском и релятивистском случаях.

59. Докажите, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости свободно движущейся частицы. Рассмотрите нерелятивистский и релятивистский случаи.

60. Докажите, что для свободно движущейся с постоянной скоростью v частицы выполняется соотношение v_фаз u = c₂ (u —групповая скорость).

61. Выведите закон дисперсии волн де Бройля, т.е. зависимость фазовой скорости волн де Бройля от их длины волны. Рассмотрите нерелятивистский и релятивистский случаи.

62. Ширина следа электрона (обладающего кинетической энергией T = 1,5 кэВ) на фотопластинке, полученного с помощью камеры Вильсона, составляет Δx = 1 мкм. Определите, можно ли по данному следу обнаружить отклонение в движении электрона от законов классической механики.

63. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1 кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1% от ее числового значения. Определите неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовой или классической частицей?

64. Определите отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10^-5 м, и пылинки массой m = 10^-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.

65. Электронный пучок выходит из электронной пушки под действием разности потенциалов U = 200 В. Определите, можно ли одновременно измерить траекторию электрона с точностью до 100 пм (с точностью порядка диаметра атома) и его скорость с точностью до 10%.

66. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории?

68. Используя соотношение неопределенностей в форме Δx Δp_x >= h , оцените минимально возможную полную энергию электрона в атоме водорода. Примите неопределенность координаты равной радиусу атома. Сравните полученный результат с теорией Бора.

70. Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оцените размытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни равно 10^-8 с).

71. Длина волны λ излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни возбужденного состояния Δt = 10 с, определите отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.

72. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определите (в электрон-вольтах) неопределенность энергии данного электрона.

76. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, может быть представлена в виде ψ(x, t) = ψ(x)*e ^–(i/h)*Et . Покажите, что плотность вероятности нахождения частицы определяется только координатной ψ-функцией.

77. ψ-функция некоторой частицы имеет вид ψ = A/r*e^-r/a, где r — расстояние этой частицы до силового центра; a — некоторая постоянная. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент A.

78. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент А волновой функции ψ = A*е^-r/a, описывающей основное состояние электрона в атоме водорода, где r — расстояние электрона от ядра, a — первый боровский радиус.

79. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент волновой функции ψ(r) = A*e^{-r^2/(2а^2)}, описывающей поведение некоторой частицы, где r — расстояние частицы от силового центра; a — некоторая постоянная.

80. Волновая функция ψ = A sin(2πx/l) определена только в области 0 <= x <= l . Используя условие нормировки, определите нормировочный множитель A.

81. ψ-функция некоторой частицы имеет вид ψ = A/r*е^-r/a, где r — расстояние этой частицы до силового центра; a — некоторая постоянная. Определите среднее расстояние <r> частицы до силового центра.

82. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид ψ = A*e^{-r^2/(2a^2)}, где r — расстояние этой частицы до силового центра; a — некоторая постоянная. Определите среднее расстояние <r> частицы до силового центра.

83. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ = A*e^-r/a, где r — расстояние электрона от ядра, a — первый боровский радиус. Определите среднее значение квадрата расстояния <r²> электрона до ядра в основном состоянии.

84. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид ψ(r) = A/r*e^{-r^2/a^2}, где A — нормировочный множитель, равный 1/(корень(πa)*корень(2π)); r — расстояние частицы от силового центра; a — некоторая постоянная. Определите среднее значение квадрата расстояния <r²> частицы до силового центра.

85. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ = A*e^-r/a, где r — расстояние электрона от ядра, a — первый боровский радиус. Определите наиболее вероятное расстояние r_в электрона до ядра.

86. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид ψ = A*e^{-r^2/(2a^2)}, где r — расстояние частицы от силового центра; a — некоторая постоянная. Определите наиболее вероятное расстояние rв частицы до силового центра.

92. Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний для свободной частицы, движущейся вдоль оси x, а также определите посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы?

93. Волновая функция, описывающая частицу в момент времени t = 0 , имеет вид ψ(x,0) = A*e^{-x^2/a^2+ikx}, где a и k — некоторые положительные постоянные. Определите: 1) нормировочный коэффициент A; 2) область, в которой частица локализована.

94. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Запишите уравнение Шредингера в пределах "ямы" (0 <= x <= l) и решите его.

95. Частица находится в одномерной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Выведите выражение для собственных значений энергии E_n.

96. Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид ψ(x) = A sin kx . Определите: 1) вид собственной волновой функции ψ_n(x); 2) коэффициент A , исходя из условия нормировки вероятностей.

97. Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид ψ_n(x) = корень(2/l) * sin πnx/l, где l — ширина "ямы". Определите среднее значение координаты <x> электрона.

99. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в основном состоянии. Определите вероятность обнаружения частицы в левой трети "ямы".

100. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определите вероятность обнаружения частицы в области 3/8*l <= x <= 5/8*l.

101. Электрон находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Определите вероятность W обнаружения электрона в средней трети "ямы", если электрон находится в возбужденном состоянии (n = 3). Поясните физический смысл полученного результата, изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии.

102. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n = 3). Определите, в каких точках "ямы" (0 <= х <= l) плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна. Поясните полученный результат графически.

103. Определите, при какой ширине одномерной прямоугольной "потенциальной ямы" с бесконечно высокими "стенками" дискретность энергетического спектра электрона сравнима с его средней кинетической энергией при температуре T.

104. Докажите, что энергия свободных электронов в металле не квантуется. Примите, что ширина l прямоугольной "потенциальной ямы' с бесконечно высокими "стенками" для электрона в металле составляет 10 см.

105. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками". Определите, во сколько раз изменяется отношение разности соседних энергетических уровней ΔE_n+1,n/E_n частицы при переходе от n = 3 к n' = 8 . Объясните физическую сущность полученного результата.

106. Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U и конечной шириной l, причем E < U. Запишите уравнение Шредингера для областей 1, 2 и 3.

107. Для условия задачи 106 запишите решения уравнений Шредингера для областей 1. 2 и 3. ψ-функция обычно нормируется так, что A₁ = 1. Представьте графически качественный вид ψ-функций.

108. Электрон с энергией E = 5 эВ движется в положительном направлении оси x, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определите коэффициент D прозрачности потенциального барьера.

109. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Определите в электрон-вольтах разность энергий U - E, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,5.

110. Протон с энергией E = 5 эВ движется в положительном направлении оси x, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определите вероятность прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при вышеприведенных условиях.

111. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией движущегося в положительном направлении оси x электрона U - E = 5 эВ. Определите, во сколько раз изменится коэффициент прозрачности D потенциального барьера для электрона, если разность U - E возрастает в 4 раза.

112. Частица с энергией E движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U, причем E > U. Запишите уравнение Шредингера для областей 1 и 2.

113. Для условия задачи 112 запишите решение уравнений Шредингера для областей 1 и 2. ψ -функция обычно нормируется так, что A₁ = 1. Представьте графически качественный вид ψ -функций.

114. Частица с энергией E = 10 эВ движется в положительном направлении оси x, встречая на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 5 эВ. Определите коэффициент преломления n волн де Бройля на границе потенциального барьера.

115. Электрон с длиной волны де Бройля λ₁ = 100 пм, двигаясь в положительном направлении оси x, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 100 эВ. Определите длину волны де Бройля после прохождения барьера.

116. Частица с энергией E = 50 эВ, двигаясь в положительном направлении оси x, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 20 эВ. Определите вероятность отражения частицы от этого барьера.

117. Частица массой m = 10^-19 кг, двигаясь в положительном направлении оси x со скоростью v = 20 м/с, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 100 эВ. Определите коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенциального барьера.

118. Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U, причем E < U. Запишите уравнение Шредингера для областей 1 и 2.

119. Для условия задачи 118 запишите решение уравнений Шредингера для областей 1 и 2. ψ - функция обычно нормируется так, что A₁ = 1. Представьте графически качественный вид ψ -функций.

120. Электрон с длиной волны λ де Бройля, равной 120 им, движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 200 эВ. Определите коэффициент отражения R волн де Бройля на границе потенциального барьера.

121. Частица с энергией E движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U, причем E < U. Принимая A₁ = 1 (как это обычно делается) и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определите плотность вероятности |ψ₂(0)|² обнаружения частицы в точке x = 0 области 2.

122. Частица с энергией E движется в положительном направлении оси x и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U, причем E < U. Принимая A₁ = 1 (как это обычно делается) и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определите плотность вероятности обнаружения частицы на расстоянии x от потенциального барьера.

123. Докажите, что волновая функция ψ(x) = Ax*e ^{–корень(mk)/2h*x^2} может быть решением уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, масса которого m и постоянная квазиупругой силы k. Определите собственное значение полной энергии осциллятора.

124. Частица массой m движется в одномерном потенциальном поле U(x) = kx²/2 (гармонический осциллятор). Волновая функция, описывающая поведение частицы в основном состоянии, имеет вид ψ(x) = Ae^{-ax^2} , где A — нормировочный коэффициент; a—положительная постоянная. Используя уравнение Шредингера, определите: 1) постоянную a; 2) энергию частицы в этом состоянии.

126. Математический маятник можно рассматривать в качестве гармонического осциллятора. Определите в электрон-вольтах энергию нулевых колебаний для маятника длиной l = 1 м, находящегося в поле тяготения Земли.

127. Рассматривая математический маятник массой m = 100 г и длиной l = 0,5 м в виде гармонического осциллятора, определите классическую амплитуду A маятника, соответствующую энергии нулевых колебаний этого маятника.