|
Задачи по физике. Боган. Б.Ю. 1971 год.
|
|
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:41 | Сообщение # 1 |
 Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| Б.Ю.Коган
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ. Пособие для учителей
Предлагаемый сборник состоит из задач повышенной трудности по курсу
элементарной физики. Он предназначен для учителей, а также для лиц,
готовящихся к поступлению в вузы, предъявляющие повышенные требования к
знанию физики. Сборник содержит 700 задач, снабженных решениями, и ответы
ко всем задачам. В начале каждого параграфа приводятся теоретические сведения,
относящиеся к рассматриваемой теме.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Глава I. Механика
§ 1. Кинематика прямолинейного движения
1. Равномерное движение
2. Неравномерное и равнопеременное движение
3. Графики движения
§ 2. Кинематика криволинейного Движения точки
§ 3. Кинематика твердого тела
1. Вращение вокруг неподвижной оси
2. Мгновенный центр вращения
§ 4. Сложение движений
1. Сложение скоростей
2. Сложение ускорений
§ 5. Динамика точки
1. Прямолинейное движение точки
2. Криволинейное движение точки
§ 6. Количество движения
§ 7. Работа и энергия
Радиус инерции и момент инерции
Вычисление ускорений
§ 8. Статика твердых тел
1. Силы, приложенные в одной точке
2. Параллельные силы
3. Уравнения равновесия
4. Трение
5. Простые машины
§ 9. Тяготение
1. Закон всемирного тяготения
2. Гравитационное поле планеты
§ 10. Колебания
§11. Движущиеся системы отсчета
§ 12. Гидро- и аэромеханика
Глава П. Теплота и молекулярная физика
§ 13. Тепловое расширение 58 195
3
§ 14. Теплота, работа, энергия
§ 15. Газовые законы
1. Уравнение состояния
2. Закон Дальтона
§ 16. Внутренняя энергия и теплоемкость газа
§ 17. Молекулярно-кинетическая теория
§ 18. Поверхностное натяжение
§ 19. Насыщающие и ненасыщающие пары
Глава Ш. Электричество
§ 20. Электростатика
1. Закон Кулона, напряженность, потенциал
2. Проводники в электрическом поле
3. Электроемкость, конденсаторы
4. Конденсаторные цепи
§ 21. Постоянный ток
1. Закон Ома. Простейшие электрические цепи
2. Соединение источников э.д.с.
3. Метод узловых потенциалов
4. Работа и мощность тока
5. Электролиз
§ 22. Взаимодействие тока и магнитного поля.
Электромагнитная индукция
§ 23. Электрические машины постоянного тока
§ 24. Переменный ток
§ 25. Электромагнитные колебания
Глава IV. Геометрическая оптика
§ 26. Отражение и преломление света на плоской границе
§ 27. Сферические зеркала и линзы
§ 28. Оптические системы
§ 29. Фотометрия
Ответы
Решения скачивайте по ссылке:
http://rechizadathu.ucoz.ru/load....-1-0-18
My WebPage
Задачи по физике. Коган Б.Ю. Физика. 1971 г. 700 задач, снабженных решениями, и ответы ко всем задачам.
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:42 | Сообщение # 2 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник состоит из задач повышенной трудности
по курсу элементарной физики. Он предназначен для учителей, а
также для лиц, готовящихся к поступлению в вузы, предъявляю-
щие повышенные требования к знанию физики. Сборник содержит
700 задач, снабженных решениями, и- ответы ко всем задачам. В на-
чале каждого параграфа приводятся теоретические сведения, от-
носящиеся к рассматриваемой теме.
В ряде разделов сборника применяются сведения, лежащие «на
грани» школьного курса физики и, как правило, не используемые
в_ средней школе. К ним относятся: три уравнения равновесия твер-
дого тела, уравнения движения материальной точки в координат-
ной форме, силы инерции в поступательно движущихся системах
отсчета, газовые законы в форме Менделеева—Клапейрона и Больц-
мана, формулы для параллельного соединения источников э.д.с,
метод узловых потенциалов при расчете электрических цепей, а так-
же некоторые другие правила и формулы. Эти сведения вполне эле-
ментарны и в то же время заметно упрощают решение ряда задач.
ЗАДАЧИ
ГЛАВА I
МЕХАНИКА
§ 1. КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
1. Равномерное движение
Если тело движется равномерно, то
s = vt,
где s — пройденный путь, и — скорость и t — время.
1. Бамбук растет со скоростью около 0,001 см/сек. На сколько
он вырастает за сутки?
2. Скорость распространения сигнала по нервным волокнам
можно принять равной 50 м/сек. Вообразим, что рука человека ста-
ла настолько длинной, что он сумел дотянуться до Солнца, Через
какое время он почувствует боль от ожога?
3. Точка движется по оси х согласно закону х — 2 + Ы, где t
измеряется в секундах, ах — в метрах. Какова скорость этой точки?
4. По оси х движутся две точки: первая — по закону хг = 10 4-
-2/, а вторая — по закону х2 = 4 4- 5t. В какой момент времени
они встретятся? N
5. Поезд, вышедший в 12 ч дня из пункта А, движется со ско-
ростью Vi = 60 км/ч. Поезд, вышедший в 2 ч дня из пункта В, дви-
жется со скоростью о з = 40 км/ч навстре-
У | чу первому поезду. В котором часу они
встретятся, если расстояние АВ равно
s = 420 км?
-%*- 6. Из начала координат одновременно
начинают движение две точки. Первая
I движется по оси х со скоростью Vi= 3 м/сек,
-• х а вторая — по оси у со скоростью и2=
Рис j —4 м/сек. С какой скоростью они удаля-
ются друг от друга?
7. Точки / и 2 движутся по осям хну
(рис. 1). В момент if — 0 точка 1 находится на расстоянии Si =
= 10 см, а точка 2 — на расстоянии s2 = Ъсм от начала коорди-
нат. Первая точка движется со скоростью ut = 2 см/сек, а вто-
рая — со скоростью v% = 4 см/сек. Встретятся ли они?
8. Каково наименьшее расстояние между точками, о которых го-
ворилось в предыдущей задаче?
9. Прямая, образующая угол 30° с положительным направле-
нием оси х и угол 60° с положительным направлением оси у, дви-
жется в направлении оси х со скоростью и. С какой скоростью дви-
жется точка пересечения этой прямой с осью у}
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:43 | Сообщение # 3 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| 2« Неравномерное и равнопеременное движение
Если в течение времени t тело перемещается на расстояние s, то
его средняя скорость равна
v — —.
t
Понятие средней скорости имеет смысл только по отношению к, не-
которому интервалу времени (в отличие от мгновенной скорости,
относящейся к определенному моменту времени).
Равнопеременное движение описывается формулами:
v = v0 + at, A)
s=vot+^, 
и2— v20 = 2 as, D)
где a — ускорение, t — время, v0 — начальная скорость (скорость
в момент t = 0) и з — перемещение. Все фигурирующие здесь ве-
личины являются алгебраическими, т. е. могут быть как положи-
тельными, так и отрицательными (см. задачи 15, 16, 17, 18). При этом
предполагается, что на прямой, по которой совершается движение,
выбрано определенное положительное направление. Пусть, напри-
мер, рассматривается движение камня, брошенного вертикально
вверх. Тогда, если направление вверх считать положительным, ско-
рость камня будет сначала положительной, а затем — отрицатель-
ной. Ускорение же камня будет все время отрицательным (так как
вектор ускорения направлен вниз, т. е. в отрицательную сторону).
Следует помнить, что символ s в формулах B), C), D) обозначает
не путь, а перемещение. Например, если камень поднимается на
10 м, а затем опускается на 2 м, то путь, пройденный камнем, равен
12 м, а перемещение камня равно 8 м.
Движение называется ускоренным, если его скорость увеличивает-
ся (по абсолютной величине), и замедленным, если она уменьшается.
Например, брошенный вверх камень движется сначала замедленно,
а затем — ускоренно. При этом формулы A) —D) будут справедли-
вы в течение всего времени движения камня (а ускорение а будет
равно 9,8 м/сек2 или —9,8 т/сек%, в зависимости от того, какое на-
правление считается положительным).
10. Брошенный вверх камень поднимается на высоту 10 м и
падает обратно. Какова средняя скорость камня за время движения?
11. Первую половину пути поезд движется со скоростью V\ =
= 40 км/ч, а вторую — со скоростью v2 = 60 км/ч. Какова сред-
няя скорость поезда?
12. Точка движется по закону s = 5 (t — ЗJ, где s измеряет-
ся в метрах, a t — в секундах. Каково ее ускорение?
13. Точка движется по оси х согласно закону х = 2 — lOt +
+ З/2 (х измеряется в метрах, a t — в секундах). Какова ее началь-
ная скорость (в момент / = 0) и каково ускорение?
14. Камень брошен вертикально вверх со скоростью 24,5 м/сек.
Через какой промежуток времени он будет на высоте 29,4 м?
15. Человек, стоящий на краю высохшего колодца, бросает вер-
тикально вверх камень, сообщая ему скорость 9,8 м/сек. Через ка-
кой промежуток времени камень упадет на дно колодца? Глубина
колодца 14,7 м.
¦f- 16. Камень бросают с башни, сообщая ему начальную скорость,
направленную вниз. 1) Какой должна она быть, чтобы камень за
время t = 2 сек опустился на 30 м? 2) Какой должна быть эта ско-
рость, чтобы камень за 2 сек опустился на 10 ж?
17. Автомобиль движется с постоянным ускорением а = 1 м/секг.
В данный момент он имеет скорость 10,5 м/сек. Где он был секунду
назад?
-^- 18. Точка движется с постоянным ускорением по оси х, имея
начальную скорость 10 м/сек (в положительном направлении). Ка-
ким должно быть ее ускорение, чтобы она за 2 сек сместилась в по-
ложительном направлении на 10 м?
19. Тело брошено вертикально .вверх со скоростью 14 м/сек. На
какую высоту поднимется оно за 2 сек? Какой путь пройдет за это
время?
20. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно
увеличивает свою скорость. На первом километре она возросла на
10 м/сек. На сколько возрастет она на втором километре?
21. Автомобиль трогается с места и первый километр проходит
с ускорением аи а второй — с ускорением аг. При этом на первом
километре его скорость возрастает на 10 м/сек, а на втором — на
5 м/сек. Что больше: at или й2?
22. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0. Можно
ли так подобрать эту скорость, чтобы, двигаясь вверх, тело подня-
лось за 2 сек на 10'м?
23. Тело двигалось по оси х с постоянным ускорением. В точке
х2 = 2 м оно имело скорость у2 = 2 м/сек, а в точке х3= 3 м имело
скорость v3 = 3 м/сек. (Обе скорости направлены в положительную
сторону оси х.) Было ли это тело в точке xt = 1м?
24. Тело, двигавшееся равномерно ускоренно, прошло за пер-
вую секунду 1 м, за вторую — 2 м, за третью — 3 м и т. д. Какова
его начальная скорость?
25. Из точки А выходит тело, движущееся с начальной скоростью
Pj == 3 м/сек и ускорением а4 = 2 м/сек2: Спустя секунду из точки
В выходит другое тело, движущееся навстречу первому с постоян-
ной скоростью у2 == Ьм1сек. Расстояние АВ равно s = 100 м. Сколь-
ко времени будет двигаться первое тело до встречи со вторым?
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:43 | Сообщение # 4 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| 3, Графики движения
26. На рис. 2 показан график скорости некоторого тела (двигав-
шегося прямолинейно). Опишите качественно это движение.
х,м
4
Рис. 2
3 4 5 6 t.cea
Рис. 3
27. Точка двигалась вдоль оси х согласно графику, изображен-
ному на рис. 3. Какой путь прошла она за время от t = 1 сек до
/ = 5 сек? Какова ее средняя скорость в этом интервале?
28. Тело двигалось вдоль оси х в соответствии с графиком, пока-
занным на рис. 2. В какие моменты времени его ускорение положи-
тельно и в какие — отрицательно? В какие моменты времени дви-
жение этого тела ускоренное и в какие — замедленное?
29. Точки / и 2 двигались по оси х согласно графикам, показан-
ным на рис. 4. В какой момент времени они встретились? У какой
из них была в этот момент большая скорость?
30. На рис. 5 показана зависимость скорости тела от его коорди-
наты (тело двигалось вдоль оси х). Где оно имело большее ускоре-
ние: в точке х = Xi или в точке х — х2?
Рис. 4
Рис. 5
§ 2. КИНЕМАТИКА КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Криволинейное движение точки удобно исследовать с помощью
системы координат (рис. 6). Положение этой точки в тот или иной
момент времени определяется ее координатами х, у, изменяющимися
с течением времени. Формулы, выражающие зависимость х и у от t,
называются кинематическими уравнениями движения.
Если материальная точка движется под действием силы тяжести,
то
х = х0 + (v0 cos a) t, E)
У = Уо + (f о sin a) t — ?p F)
где х0, у0 — координаты точки в момент t — О, v0 — начальная
скорость и а — угол наклона вектора v0 к оси х (рис. б). Первое из
этих уравнений описывает
движение точки в направ-
лении оси х; оно соверша-
ется с постоянной скоро-
стью vQx = vо cos а (го-
ризонтальная составляю-
щая скорости у0). Второе
уравнение описывает дви-
жение в направлении оси
у; оно совершается с на-
чальной скоростью vOy =
=yosin а (вертикальная со-
ставляющая скорости v0)
и ускорением —g. Ско-
рость этой точки в тот или
иной момент времени можно рассматривать как геометрическую
сумму скоростей vx и vy. Первая из них представляет скорость
перемещения в направлении оси х, а вторая — в направлении
оси у.
31. Материальная точка движется согласно уравнениям
х = 2t + 6,
У = t\
Проходит ли ее траектория через точку х = 10, у = 15?
32. Точка / движется согласно уравнениям
Xi = It, уг = Ы,
а точка 2 — согласно уравнениям
0
I
r
у.
X
Рис. 6
Встретятся ли эти точки?
8
33. Точка движется согласно уравнениям
х = 2 + 3/, у = I +4t,
(хтлу измеряются в метрах, a t — в секундах). Какова ее скорость?
34. Под каким углом к горизонту следует бросить камень со ско-
ростью v0 — 14 м/сек, чтобы дальность его полета была равна 10 м?
35. Камень брошен из начала координат со скоростью v0 =
= 14 м/сек. Под каким углом к горизонту нужно его бросить, чтобы
он попал в точку с координатами х = 10 м, у — 7,5 м>
36. Снаряд выпущен под углом а к горизонту с начальной ско-
ростью v0- Написать уравнение его траектории (считая, что снаряд
вылетает из начала координат).
37. Камень, брошенный горизонтально с высоты h — 2,5 м,
упал на расстоянии s = 10 ж от места бросания (считая по горизон-
тали). Найти его начальную и конечную скорости.
38. Камень, брошенный со скоростью v0 = Юм/сек, имел спустя
1 сек скорость v = 8 м/сек. Под каким углом был брошен камень?
39. Тело бросают с земли со скоростью v0 под углом а к горизон-
ту. Найти дальность полета и максимальную высоту подъема.
40. Под каким углом к горизонту надо бросить тело, чтобы даль-
ность его полета была втрое больше максимальной высоты его подъ-
ема?
41. Под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы
дальность его полета была наибольшей (при заданном значении на-
чальной скорости)?
- -42. Гора образует угол <р с горизонтом (рис. 7). У подножия го-
ры стоит орудие, стреляющее под углом а с начальной скоростью v0.
Какова дальность полета снаряда (в горизонтальном направлении)?
43. Самолет летит на высоте
h — 1500 м с горизонтальной
скоростью v = 200 м/сек. Из
орудия производят выстрел по
самолету в момент, когда послед-
ний находится на одной вертика-
ли с орудием. Под каким углом
следует произвести выстрел, что-
бы попасть в самолет? Началь-
ная скорость снаряда равна
v0 = 900 м/сек.
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:44 | Сообщение # 5 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| § 3. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
1« Вращение вокруг неподвижной оси
Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью.
Каждая точка вращающегося тела описывает окружность и движет-
ся со скоростью
v — а Я,
где R — радиус окружности, а «а — угловая скорость. (Чтобы под-
черкнуть разницу между скоростью и угловой скоростью, первую
часто называют линейной.) Если вращение равномерное, то ускоре-
ние этой точки направлено к центру окружности и равно
а = И2# = ?.
R
Оно называется центростремительным. Если вращение неравно-
мерное, то ускорение состоит из двух компонент: из ускорения
ап = со2 R,
направленного к центру, и уско-
рения
а, = 8 R,
направленного по касательной (е—
угловое ускорение). Складываясь
по правилу параллелограмма, они
дают полное ускорение (рис. 8)
Рис. 8
Ускорение ап называется нор-
мальным (и поэтому снабжается
индексом п) или центростреми-
тельным. Ускорение at называется
касательным. (Его также называют тангенциальным, поэтому оно
снабжается индексом t.)
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости точ-
ки, движущейся по окружности, по направлению. Касатачьное же
ускорение характеризует изменение скорости по величине. (Поэто-
му оно имеется только при неравномерном вращении.) Если вра-
щение равнопеременное, то
где t — время, за которое скорость изменяется от v0 до и.
Если вращение равнопеременное, то
со = и0 + &t, G)
е/2
Ф = <V + -J,
соо -f со ,
(8)
О)
ю2—ю|=2еф, A0)
где ©о — начальная угловая скорость, а ф — угол поворота. (Эти
10
формулы аналогичны соответствующим формулам для равноперемен-
ного движения по прямой.)
В СИ угол измеряется в радианах, угловая скорость — в
рад/сек (сек'1) и угловое ускорение — в рад/сек2 {сект2).
44. Трехлопастный вентилятор вращается со скоростью 2000
об/мин. Если установить его в комнате, освещаемой лампой дневно-
го света, то скорость его вращения будет казаться иной. Какой?
45. Какое ускорение получают точки земного экватора за счет
вращения Земли? Во сколько раз должна была бы увеличиться уг-
ловая скорость Земли, чтобы это ускорение стало равным g?
46. Тело начинает вращаться и делает за 2 мин 3600 оборотов.
Найти угловое ускорение тела, считая его постоянным.
47. Маховик получил начальную угловую скорость юо=2я сек'1.
Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остано-
вился. Найти угловое ускорение маховика, считая его постоянным.
48. Шестерня, имеющая 60 зубьев, вращается вокруг оси и
приводит во вращение шестерню, имеющую 30 зубьев и вращаю-
щуюся вокруг другой оси. Первая шестерня, вращаясь с угловым
ускорением 0,5сек~г, имеет в данный момент угловую скорость 3 сек'1.
Каковы в этот момент угловая скорость и угловое ускорение второй
шестерни?
49. Динамо-машина приводится во вращение от паровой машины
с помощью ременной передачи. Шкив паровой машины имеет радиус
R = 75 см, а шкив динамо-машины — радиус г = 30 см. Паровая
машина начинает движение из состояния покоя и вращается с угло-
вым ускорением 0,4 псек. Через сколько времени динамо-машина
будет вращаться со скоростью 300 об/мин?
50. Маховое колесо радиуса R¦ — 1 м начинает движение из со-
стояния покоя и вращается равноускоренно. Через t = 10 сек точ-
ка, лежащая на его ободе, обладает скоростью v = 100 м/сек. Най-
ти скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорение
этой точки в момент t = 15 сек.
51. Диск радиуса R = 20 см, начинает вращаться с угловым ус-
корением е = 3 сек'2. Через сколько времени точка, лежащая на
его краю, будет иметь ускорение 75 см1секЧ
52. Тело начинает движение из состояния покоя и вращается
с постоянным угловым ускорением е = 0,04 сек~%. Через сколько
времени точка, принадлежащая этому телу, будет иметь ускорение,
направленное под углом 45° к ее скорости?
53. Диск начинает движение без начальной скорости и враща-
ется равномерно ускоренно. Каким будет угол между вектором скоро-
сти и вектором ускорения произвольной точки диска, когда он
сделает один оборот?
54. Груз Р начинает опускаться с постоянным ускорением а —
—2 м/сек2 и приводит в движение ступенчатый шкив с радиусами г=
= 0,25 м и R = 0,5 м (рис. 9). Какое ускорение будет иметь точка
М через 0,5 сек после начала движения?
и
Рис. g ¦
Рис. 10
Рис. 11
2. Мгновенный центр вращения
Пусть диск катится по прямолинейному
участку пути (рис. 10). Поскольку окруж-
ность можно рассматривать как правильный
многоугольник с большим числом сторон, то
круг, изображенный на рис. 10, можно мыс-
ленно заменить многоугольником (рис. 11).
Но движение последнего состоит из ряда не-
больших поворотов: сначала вокруг точки
С, а затем — вокруг точек С, С" и т. д.
Поэтому движение диска тоже можно рас-
сматривать как последовательность
очень малых (бесконечно малых)
поворотов вокруг точек С, С, С"
и т. д. Таким образом, в каждый
момент времени диск вращается
вокруг своей нижней точки. Точка
С называется мгновенным центром
вращения диска. (Разумеется, она
не является центром вращения в
буквальном смысле, ибо ее поло-
жение все время меняется.)
Введение мгновенного центра
вращения позволяет легко ре-
шать некоторые задачи. Напри-
мер, зная, что центр диска имеет
скорость v, можно найти скорость
точки А (рис. 10). Действитель-
но, так как диск вращается во-
круг мгновенного центра С (это
вращение показано дуговой стрел-
кой), то радиус вращения точки
А равен AC, st радиус вращения
точки О равен ОС. Но так как
АС = 2 ОС, то
vA = 2v0 = 2v.
Столь же легко можно найти
скорость любой точки этого диска.
Замечание. Более строгое рассмотрение показывает, что
представление о вращении диска вокруг точки С допустимо лишь
при вычислении скоростей, но не ускорений. Действительно, если
вычислять таким путем ускорение точки О, то можно прийти к вы-
воду, что оно равно v4OC и направлено от О к С, что, конечно, не-
верно.
12
55. Диск катится со скоростью v (рис. 10). Какова скорость
точки В? Как она направлена?
56. Трамвай движется со скоростью v. Радиус трамвайного ко-
леса равен г, а радиус реборды равен R (рис. 12). С какой скоростью
и в каком направлении движется
в данный момент нижняя точка
реборды?
57. Кривошип О А, вращаясь с
угловой скоростью со = 2,5 сек~г,
приводит в движение колесо ра-
диуса г = 5 см, катящееся по не-
подвижному колесу радиуса R =
= 15 еж (рис. 13). Найти скорость
точки В. р 12
58. Кривошип ОА, вращаясь ис'
вокруг оси О, приводит в движение
колесо / радиуса R = 20 см, катящееся по внутренней поверхности
неподвижного круга 2 (рис. 14). Колесо /, соприкасаясь с колесом 3
Рис 13
Рис. 14
радиуса г = 10 см, заставляет его вращаться вокруг оси О. (Ко-
лесо 3 свободно надето на ось О и не связано с кривошипом О А.)
Во сколько раз угловая скорость колеса 3 больше угловой скорости
кривошипа ОЛ?
59. Две параллельные рейки движутся со скоростями vt =
= 6 м/сек и»2 = 4 м/сек (рис. 15). Между рейками зажат диск, ка-
Рис. 16
13
тящийся по рейкам без скольжения. Какова скорость его центра?
60. Горизонтальную платформу перемещают с помощью круглых
катков. На сколько переместится каждый каток, когда платформа
передвинется на 10 см?
61. Будет ли скатываться с наклонной плоскости катушка, при-
крепленная к стене нитью, как показано на рис. 16?
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:48 | Сообщение # 6 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| §4. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
1. Сложение скоростей
Когда говорят о движении той или иной точки, то имеют в ви-
ду ее движение по отношению к некоторому телу, или, что то же
самое, по отношению к некоторой системе отсчета. Поэтому, гово-
ря о скорости точки, мы имеем в виду не скорость вообще, а скорость
относительно некоторой системы отсче-
та. (Часто приходится слышать выра-
жение «скорость точки А относительно
точки В». Это выражение не имеет смы-
сла: можно говорить о скорости точки
А относительно тела В, а не точ-
ки В.)
Пусть имеются две системы отсче-
та: неподвижная система S и движу-
щаяся система 5'. Пусть, далее, имеет-
ся точка М, движущаяся относительно
системы 5 и в то же время относительно
Р"с- 17 системы 5'. Движение этой точки по
отношению к неподвижной системе S
называют абсолютным, а по отношению к движущейся системе 5' —
относительным. Аналогично скорость точки М по отношению к не-
подвижной системе 5 называют абсолютной, а по отношению к дви-
жущейся системе S' — относительной. Кроме того, вводятся еще
два понятия: переносное движение и переносная скорость. Под пе-
реносным движением понимают движение системы 5' относительно
неподвижной системы 5, а под переносной скоростью — скорость
того «места» в движущейся системе 5', где находится в данный
момент точка М. Пусть, например, точка М движется по диаметру
вращающегося диска (рис. 17). В этом случае движущейся системой
является диск, а переносным движением — вращение этого диска
вокруг точки О. Переносная скорость точки М будет перпендику-
лярна к ОМ (ибо так направлена скорость того места на диске, где
находится в данный момент точка М).
Абсолютная, относительная и переносная скорости связаны со-
отношением
Сабе = ^отн+ "пер, О1)
14
где iw» °отн. Упер — векторы этих скоростей. Таким образом,
абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относи-
тельной и переносной скоростей.
Следует подчеркнуть, что символ упер в равенстве A1) обозначает
не скорость движущейся системы отсчета, а скорость того места
в этой системе, где в данный момент находится рассматриваемая
точка. Например, в случае, изображенном на рис. 17, переносная
скорость точки М есть не скорость вращающегося диска (это поня-
тие вообще не имеет смысла), а скорость той точки на этом диске,
через которую проходит в данный момент точка М.
Если движущаяся система перемещается поступательно, то каж-
дая ее точка имеет одну и ту же скорость. В этом случае переносная
скорость есть скорость движущейся системы.
Из равенства A1) следует, что если тела / и-2 движутся посту-
-> —>¦
пательно со скоростями vt и v2) то скорость первого тела относи-
—> —>¦
тельно второго равна vt— v2, а скорость второго тела относитесь-
но первого равна v2 — vt. у
62. Точка М (рис. 17) движется по диску со скоростью^ЗО см/сек
(относительно диска). Диск вращается с угловой скоростью 4 сек'1,
расстояние ОМ равно 10 см (в данный момент). Найти абсолютную
скорость точки М.
63. Автомобили А и В движутся по взаимно перпендикулярным
дорогам: первый — на север со скоростью 60 км/ч, а второй — на
восток со скоростью 80 км/ч. Какова скорость первого автомобиля
относительно второго?
64. Платформа движется со скоростью v = 30 м/сек. В момент,
когда она занимает положение, показанное на рис. 18, с нее произ-
водится выстрел по неподвижной цели А. Зная, что скорость пули
относительно платформы равна и = 80 м/сек, найти направление,
в котором должен быть произведен выстрел.
65. Круглая горизонтальная платформа вращается вокруг своей
оси со скоростью со = 3 сек'1 (рис. 19). Шар А катится в направ-
лении Л О со скоростью 7 м/сек. Расстояние АО равно 8 ж (в данный
момент). Найти скорость шара относительно платформы.
Рис. 18 Рис. 19
15
66. Над экватором планеты движется спутник в сторону ее вра-
щения. Скорость спутника v{ — 6 км/сек, а скорость точек экватора
а2 = 1 км/сек. Найти скорость спутника относительно планеты, зная,
что радиус планеты равен Ri = 1000 км, а радиус орбиты спутника
равен Rz = 2000 км.
67. Вагон А движется по закруглению радиусом ОА = 0,5 км,
а вагон В — прямолинейно (рис. 20). Расстояние АВ равно 0,2 км,
а скорость каждого вагона равна 60 км/ч. Найти скорость вагона
В относительно вагона А.
О
Рис, 20
Рис. 21
68. Луч света падает на вращающийся вертикальный экран ОА,
образуя на нем зайчик С (рис. 21). Угловая скорость вращения экрана
равна со, а расстояние ОС равно а (в данный момент); угол, обра-
зуемый лучом с горизонтом, равен а. С какой скоростью скользит
зайчик по экрану?
2, Сложение ускорений
Если движущаяся система отсчета перемещается поступатель-
но, то
*а6с
= атн + а,
пер>
A2)
где аотн — относительное ускорение, а апер— переносное ускорение
(ускорение движущейся системы отсчета). Если движущаяся сис-
тема перемещается не поступательно, например вращается, то фор-
мула A2) неверна (см. задачу 73).
(В случае непоступательного перемещения движущейся системы
существует другое правило сложения ускорений, но оно выходит за
рамки курса элементарной физики.)
' 69. В вагоне равномерно и прямолинейно движущегося поезда
падает яблоко. Каково его ускорение относительно вагона?
70. Решить предыдущую задачу в случае, когда вагон движет-
ся прямолинейно с ускорением а.
16
71. Автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоро-
стью v — 20 м/сек. Каково ускорение верхней точки его колеса?
Радиус колеса равен 0,25 м.
72. Автомобиль трогается с места и движется с постоянным
ускорением 1 м/сек2. Каково ускорение верхней точки его колеса
в начальный момент движения?
73. Круглая горизонтальная платформа вращается с постоян-
ной угловой скоростью о. По краю платформы идет человек в направ-
лении, противоположном ее вращению. Угловая скорость человека
относительно платформы постоянна и равна со. Доказать, что аб-
солютное ускорение человека не равно геометрической сумме его
относительного и переносного ускорений.
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:48 | Сообщение # 7 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| § 5. ДИНАМИКА ТОЧКИ
Связь между силой и ускорением выражается равенством
F= та, A3)
где F — геометрическая сумма всех приложенных к точке сил,
и а — ускорение этой точки. Равенство A3) является векторным
и выражает два факта: во-первых, что F — та, и, во-вторых, что
векторы F и а имеют одинаковое направление.
Векторное равенство A3)
эквивалентно двум скаляр-
ным:
Fx =тах,
Fy = тау,
Рис. 22
A4)
где Fх и ах — проекции век-
торов F и а на ось х, a Fy и
ау — проекции тех же векто-
ров на ось у.
При решении задач иног-
да удобно, пользоваться век- j^<«\4w
торным равенством A3), а
иногда — скалярными равен-
ствами A4). Оси х, у мож-
но при этом проводить произвольно. (В некоторых случаях дос-
таточно проецировать лишь на одну ось.) Пусть, например, брусок
скользит по гладкой наклонной плоскости (рис. 22). В этом случае
на него действуют две силы: сила тяжести Р и реакция N. Так как
ускорение бруска направлено вдоль плоскости, то согласно закону
A3) равнодействующая F этих сил должна быть направлена так
же. Далее, из параллелограмма сил находим:
N = Р cos a, F = Р sin а,
17
откуда
F Psina
a _ __ =
m m
Таким образом, мы нашли реакцию N и ускорение а, исходя из
векторного равенства A3). Однако эту задачу можно решить и ис-
ходя из скалярных равенств A4). В этом случае получим:
Рх + Nx= тах,
Ру + Ny — тау,
Рх = Р sin a, Nx= О, ах = а,
Ру = —Р cos a, Ny = N, ay = 0,
P sin a = ma,
— P cos a + N = 0,
откуда
N — P cos a, a = gsin a.
(Оси x, у можно было бы провести и иначе. Тогда получились бы
другие уравнения, приводящие к тем же ответам.)
Если рассматривается движение системы, состоящей из двух
или нескольких тел, то закон F = та надо применять к каждому
из этих тел (см., например, задачи 85, 87, 95).
В некоторых случаях в состав механической системы входят тела,
масса которых очень мала, и ее считают равной нулю. Следует пом-
нить, что силы, действующие на каждое такое тело, нужно считать
уравновешенными (см. задачи 87, 96, 97).
1« Прямолинейное движение точки
74. Автомобиль, все колеса которого ведущие, трогается с места.
Зная, что коэффициент трения между покрышками колес и дорогой
равен 0,8, найти максимально возможное ускорение автомобиля.
75. По неподвижной наклонной плоскости, образующей угол a
с горизонтом, скользит вниз брусок. Зная, что коэффициент трения
между бруском и плоскостью равен k, а масса бруска равна т, най-
ти ускорение бруска и реакцию плоскости.
76. Лифт поднимается с ускорением а. На полу лифта лежит кир-
пич массой т. Какова сила давления кирпича на пол лифта?
77. Лифт поднимается сначала равномерно, а затем равномер-
но замедленно. Каким должно быть замедление, чтобы шар, лежа-
щий на полу лифта, подпрыгнул?
78. Шарик массой т прикреплен двумя нитями к доске (рис.
23). Каким будет натяжение каждой нити, если доска станет дви-
гаться вверх с ускорением а?
79. На гладкой наклонной плоскости, движущейся вправо с
ускорением а, лежит брусок (рис. 24). Каким должно быть это уско-
рение, чтобы брусок не скользил по плоскости?
18
80. В вагоне, движущемся прямолинейно с ускорением а, ви-
сит математический маятник. На какой угол отклоняется маятник от
вертикали?
81. Брусок А, приводимый в движение нитью АВ (рис. 25),
скользит по гладкой горизонтальной плоскости. Масса бруска рав-
на т, угол наклона нити равен а, ускорение точки В равно а. Най-
ти натяжение нити и давление бруска на плоскость.
82. Решить предыдущую задачу, считая, что между бруском и
плоскостью имеется трение. Коэффициент трения равен k.
'or
а
Рис. 23
Рис. 24
Рис. 25
83. Наклонная плоскость движется вправо с ускорением а
(рис. 26). На плоскости лежит брусок массой т, прикрепленный
к плоскости нитью. Найти натяжение нити и силу давления бруска
на плоскость.
84. На гладкой наклонной плоскости, движущейся вправо с
ускорением а, лежит брусок массой т (рис. 24). Найти ускоре-
ние бруска относительно плоскости и давление бруска на плоскость.
85. Найти ускорение грузов, изображенных на рис. 27, и на-
тяжение связывающей их нити. (Плоскость, по которой движутся
грузы, гладкая.)
86. Грузы, показанные на рис. 27, движутся по гладкой плос-
кости. Когда сила F = 100 н была приложена к правому грузу, на-
тяжение нити было равно 30 и. Каким будет натяжение нити, если
приложить эту силу к левому грузу? (Массы грузов не даны.)
87. С каким ускорением движутся грузы, изображенные на
рис. 28? Каково натяжение нити, связывающей эти грузы? Блок и
нить считать не имеющими массы (невесомыми).
,ос
Рис. 27
19
88. Решить предыдущую задачу в случае, когда блок укреплен
в лифте, поднимающемся с ускорением w.
89. В системе, показанной на рис. 29, масса левого груза равна
т, масса блока равна М, а масса правого груза в сотни раз больше,
чем т и М. Каково натяжение левой части нити?
90. Два груза связаны нитью, как показано на рис. 30. Каким
будет натяжение этой нити, если левый груз будет весить 10 н, а
правый — 15 н? (Блоки считать невесомыми.)
91. На одном конце веревки, переброшенной че-
рез невесомый блок, находится груз массой т, а на
другом — человек массой 2 т (рис. 31). Человек
поднимается вверх с ускорением аотн = g относи-
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
тельно веревки. Каково его ускорение относительно земли? (Блок
и веревку считать невесомыми.)
92. Грузы, изображенные на рис. 32, соединены невесомой нитью,
переброшенной через невесомый блок. На верхний груз действует
сила тяжести Р = 100 н. Какая сила
тяжести должна действовать на нижний
Р груз, чтобы сила, движущая верхний
| | груз, была равна 90 «? (Трение отсут-
— —' -S* ствует.)
93. Решить предыдущую задачу в
случае, когда между грузом и гори-
зонтальной плоскостью имеется трение.
I Коэффициент трения равен 0.2.
94. Установка, изображенная на
рис 32 Рис- 32, движется вверх с ускорением а.
Трения нет. Каково натяжение нити?
95. Груз Р массой т приводит в
движение груз Q массой М с помощью устройства, показанно-
го на рис. 33. Плоскость, по которой скользит груз Р, образует с
горизонтом угол а. Блок и нить невесомы, трения нет. Найти
ускорение грузов, натяжение нити и давления грузов на опорные
плоскости.
96. Невесомый ступенчатый блок состоит из шкивов радиусами
г и R (рис. 34). На меньший шкив намотана нить, к которой прило-
20
жена горизонтальная сила, а на больший — нить, несущая груз
массой т. С каким ускорением будет подниматься груз?
97. Невесомый ступенчатый блок состоит из шкивов радиусами
г и R (рис. 35). На больший шкив намотана нить с грузом ти а на
Рис. 33
Рис. 34
Рис.. 35
меньший —нить с грузом т2- Найти ускорение каждого груза и
натяжение каждой нити.
98. Шестерня / под действием вращающего момента М приво-
дит в движение шестерню 2 (рис. 36). Шестерня 2 жестко связана
Рис. 36
Рис. 37
со шкивом 5, на который намотана нить, несущая груз т. Шестерни,
шкив и нить невесомы; трения нет. Найти ускорение груза, зная,
что радиусы шестерен равны R(h R2) а радиус шкива равен г.
99. Сила F приводит в движение клин / и штифт 2 (рис. 37).
Угол наклона клина равен а, масса клина равна т, масса штифта
тоже равна т; трение отсутствует. Найти ускорение клина и силу
взаимодействия клина и штифта.
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:49 | Сообщение # 8 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| 2« Криволинейное движение точки
100. Самолет массой т совершает горизонтальный полет вдоль
экватора со скоростью 1 км/сек. Какова подъемная сила его крыльев?
101. Вообразим, что Земля начала вращаться настолько быст-
ро, что тела, находящиеся на экваторе, стали невесомы. Какой была
бы в этом случае продолжительность суток?
102. Шар массой 1 кг был брошен под некоторым углом к гори-
зонту. В момент, когда он достиг высшей точки траектории, его
ускорение равнялось 12,5 м/сек2. Какая сила сопротивления возду-
ха действововала на него в этот момент?
1
Рис. 38
Рис. 39
103. Гладкий горизонтальный диск вращается с угловой скоро-
стью ш вокруг вертикальной оси (рис. 38). На поверхности диска
находятся грузы 1 я 2, удерживаемые двумя нитями. Массы грузов
равны mi и тг, а радиусы их вращения — Ri и R2- Найти натяже-
ния нитей.
104. Горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси
(рис. ЗЭ; вид сверху). Пружина АВ одним концом прикреплена к
диску, а другим — к шару В, лежащему на поверхности диска.
Масса шара т = 0,1 кг, угловая скорость дискам = 50сек", рас-
стояние О А равно 20 см, жесткость пружины с = 1500 н/м, а ее
длина в недеформированном состоянии / = 30 см. Какую длину бу-
дет иметь пружина при вращении диска? *
105. Математический маятник имеет массу т и длину /. В момент,
когда он образует угол а с вертикалью, его скорость равна v. Ка-
ково в этот момент натяжение нити маятника?
106. Решить предыдущую задачу, считая, что маятник находит-
ся в вагоне, который движется прямолинейно с ускорением а. (о —
скорость маятника относительно вагона.)
107. Камень А соскальзывает с полусферы (рис. 40). В момен^
когда показанный на чертеже угол равен а, скорость камня равна v,
22
Масса камня т, а коэффициент трения камня о полусферу k. Най-
ти давление камня на поверхность полусферы.
108. На рис. 41 изображен так называемый конический маятник,
состоящий из шарика, прикрепленного к нити и описывающего
окружность в горизонтальной плоскости. Масса шарика т, длина
Рис. 40
Рис. 41
нити /, угол отклонения нити от вертикали а. Найти скорость ша-
рика и натяжение нити.
109. Конический маятник имеет длину / = 1 м. Может ли его
период равняться 1 се/с? Может ли он быть равен 3 сек?
т
Х*д go Л
/> Ш
J
Рис. 42
Рис. 43
ПО. Конический маятник имеет высоту OK = h (рис. 41). Ка-
ков его период?
111. Горизонтальный вал вращается с угловой скоростью со
(рис. 42). Шарик массы т прикреплен к валу с помощью двух ни-
тей длиной /. Найти натяжение нитей, пренебрегая силой тяжести
шарика (но не пренебрегая его массой).
112. Шарики А и В прикреплены к вращающемуся горизонталь-
ному валу с помощью трех нитей (рис. 43). Нить АВ параллельна
оси вала, углы, показанные на чертеже, равны 45° и 60°, масса ша-
рика А равна т. Какова масса шарика В? (Силой тяжести шариков
пренебречь.)
113. Тонкий стержень АВ лежит в подшипниках А я В (рис. 44).
Шарик Р, прикрепленный к стержню нитью СР, совершает коле-
бания в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа. Масса
шарика равна т, расстояние АС = а, расстояние СВ = Ь, длина
23
I
q CP — l. В момент, когда шарик
,4-^ проходит через нижнее положе-
^^ ние, его скорость равна v. Ка-
ковы в этот момент реакции под-
шипников? (Массу стержня и
нити считать равной нулю.)
114. В нижней части непод-
вижного вертикального обруча
радиусом 0,5 м лежал брусок
(рис. 45). После того как ему сообщили горизонтальную скорость,
он начал подниматься по обручу, достиг верхней точки и стал
двигаться дальше. Могла ли его скорость в верхней точке рав-
няться 2 м/сек?
Рис. 44
Рис. 45
Рис. 46
115. Полусферическая чаша радиусом R вращается вокруг вер-
тикальной оси с угловой скоростью со (рис. 46). В чаше лежит шарик
М, вращающийся вместе с нею. В каком месте чаши он находится?
116. Конус с чглом раствора 2а вращается вокруг вертикальной
оси с угловой скоростью со (рис. 47). В конусе находится шарик
массой /г;, прикрепленный с помощью нити; радиус вращения ша-
рика равен г. Найти натяжение нити и давление шарика на поверх-
ность конуса.
Рис. 47
Рис. 48
24
117. Круглая платформа вращается вокруг вертикальной оси
с угловой скоростью со (рис. 48). На платформе находится шарик
массой т, прикрепленный к оси платформы нитью. Угол наклона
нити равен а, длина нити равна /. Найти натяжение нити и давле-
ние шарика на платформу.
118. Горизонтальная платформа вращается вокруг вертикаль-
ной оси с угловой скоростью со (рис. 49). На платформе находится
стержень АС, шарнирно укрепленный в точке А и удерживаемый
нитью ВО. На конце стержня укреплен шарик С массой т.
Расстояние АВ = 0,4 м, расстояние ВС — 0,4 м, длина ВО =
= 0,3 м. Найти натяжение нити, считая массу стержня равной нулю.
Рис. 49
Рис. 50
119. Учащийся решал задачу о коническом маятнике (рис. 50).
Он считал, что так как шарик А не движется в направлении О А,
то равнодействующая всех сил, действующих в этом направлении,
равна нулю. Поэтому
Т — mg cos a = 0
и
Т = mg cos а.
Другой из учащихся считал, что поскольку шарик А не движет-
ся в направлении вертикали, то равна нулю сумма всех сил, дейст-
вующих в вертикальном направлении. Поэтому
Г cos а — mg = 0
mg
cos а
Почему они пришли к разным результатам?
25
§ 6. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ
Количеством движения (импульсом) материальной точки назы-
вается вектор mv. Количеством движения системы называется гео-
метрическая сумма количеств движения всех ее точек. Например,
если система состоит из двух материальных точек (рис. 51), то
ее количество движения будет изображаться вектором ОР, равным
по величине
Если все точки системы движутся вдоль одной прямой, то мож-
но говорить о количестве движения в скалярном смысле. Оно равно
алгебраической сумме количеств дви-
1^^ жения отдельных точек.
N^ ' ! Количество движения точки мож-
но разложить на составляющие mvx
m' ' m"^ =¦/? и mwy, направленные вдоль осей х и
t д ' ' V- Если поступить так с каждой точ-
тг1/г кой системы и затем суммировать все
количества движения mvx, то полу-
• чится количество движения системы
в направлении оси х. Аналогично вы-
числяется количество движения системы в направлении оси у.
Количество движения системы изменяется под действием внеш-
них сил, внутренние же силы изменить количество движения систе-
мы не могут. Поэтому если на систему действуют только внутренние
силы, то ее количество движения остается неизменным (по величине
и направлению). В этом случае можно написать:
Q = m^i + тгьг + ... 4- rnnvn = const.
Если на систему действуют внешние силы, ни одна из которых
не имеет составляющей в направлении оси х, то количество движе-
ния системы в направлении этой оси остается неизменным. В этом
случае будем иметь:
Qx = тг vix 4- m2v2x 4- ... + mn vnx = const.
Подобный случай встречается, например, тогда, когда единствен-
ными внешними силами, действующими на систему, являются силы
тяжести и реакции гладкой горизонтальной плоскости (см. задачи
120, 121).
120. Человек массой т неподвижно стоит на тележке массой М.
С какой скоростью начнет двигаться тележка, если человек побежит
по ней с относительной скоростью t»0TH? (Трение тележки о землю не
учитывать.)
121. Из пушки, не имеющей противооткатного устройства, выле-
тает снаряд под углом а к горизонту. Скорость снаряда равна v, мас-
28
Рис. 52
и i = 8 м/сек. Какова
са снаряда т, масса пушки М. Найти скорость пушки после
выстрела. (Трение между колесами пушки и землей не учитывать,
массой пороховых газов, вылетающих вслед за снарядом, пренеб-
речь.)
122. Частицы / и 2 с массами т{ и тг и скоростями vt и v2 дви-
жутся, как показано на рис. 52. При столкновении частиц происхо-
дит неупругий удар, в результате которого частицы начинают дви-
гаться вместе. Найти скорость час-
тиц после удара. У J
123. Шары / и 2 движутся по глад-
кой горизонтальной плоскости вдоль
одной прямой. Первый шар имеет
массу mt = 0,5 кг и скорость vi =
= 10 м/сек, а второй — массу т2 =
= 1 кг и скорость v2 = 5 м/сек. Пос-
ле того как первый шар догоняет вто-
рой, происходит удар и скорость
первого шара уменьшается до величины
скорость второго шара после удара?
124. Частицы 1 и 2, показанные на рис. 52, имеют одинаковую
массу /п и скорости иг и v2. В результате удара первая частица оста-
навливается. Какую скорость будет иметь после удара вторая час-
тица?
125. Тележка с песком, имеющая массу М, движется по гори-
зонтальным рельсам со скоростью v. Вертикально падающий ка-
мень массой т попадает в песок и движется вместе с тележкой. Най-
ти скорость тележки после падения камня.
126. Снаряд вылетает из орудия под углом а к горизонту, имея
начальную скорость v0. В некоторой точке траектории он разры-
вается на два осколка одинако-
вой массы, один из которых па-
дает по вертикали, а другой
начинает двигаться под углом р
к горизонту. Какова скорость
второго осколка после разры-
ва? (Сопротивление воздуха не
учитывать.)
127. Призма /, имеющая мас-
су т, была положена на приз-
му 2, имеющую массу 3 т (рис.
53). Верхняя призма начала
скользить по нижней и в неко-
торый момент времени двигалась по ней со скоростью уотн. Какую
скорость имела в этот момент нижняя призма? (Призмы и гори-
зонтальную плоскость считать гладкими.)
^128. На гладкой горизонтальной плоскости стоит брусок мас-
сой М (рис. 54). К бруску привязана нить длиной /, на конце кото-
Рис. 53
27
рой находится шарик массой т. В начальный момент нить была
отклонена на некоторый угол и отпущена без начальной скорости.
Найти скорость бруска в момент, когда нить проходит через верти-
кальное положение, зная, что ее угловая скорость в этот момент
равна <в.
129. Пусть в предыдущей задаче нить имеет угловую скорость
со в момент, когда она образует с вертикалью угол а. Найти скорость
бруска в этот момент.
130. Какое расстояние пройдет нижняя призма (см. рис. 53,
задача 127) к моменту, когда верхняя призма коснется горизонталь-
ной плоскости?
М
Рис. 54
Рис. 55
131. Пусть между призмами / и 2 будет небольшое трение
(а между призмой 2 и горизонтальной плоскостью трения не будет).
Как это повлияет на ответ предыдущей задачи?
132. Сферическая чашка стоит на гладкой горизонтальной плос-
кости (рис. 55). По внутренней поверхности чашки скатывается ша-
рик, начинающий движение из точки А (без начальной скорости).
Масса чашки М, масса шарика т, радиус чашки R, радиус
шарика г. На сколько переместится чашка, когда шарик придет
в положение В?
133. На столе стоят работающие песочные часы. Сила тяжести,
действующая на часы и песок.'равна Р, сила тяжести, действующая
на песчинки, находящиеся в данный момент в воздухе, равна р. Ка-
кова сила дсаления часов на стол?
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:50 | Сообщение # 9 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| § 7. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
Работа, совершаемая постоянной силой F на прямолинейном
перемещении s, равна
А = F scosa. A7)
Она может быть как положительной, так и отрицательной.
Работа, совершаемая постоянным вращающим моментом, равна
А = М ер, (Ш
где ф — угол поворота, измеряемый в радианах.
Кинетическая энергия материальной точки равна
Г=^. A9)
2 V '
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энер-
гий ее точек:
Потенциальная энергия тела, находящегося в поле силы тяжес-
ти, равна
Wp = mgh, B1)
где h — высота, на которой находится тело (точнее, высота его
центра тяжести).
Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины равна
Wp = с-^, B2)
где с — жесткость пружины, а б — ее деформация.
Полная механическая энергия тела или системы тел равна сум-
ме кинетической и потенциальной энергий:
W = Т + Wp. B3)
Если на систему действуют только силы, для которых можно го-
ворить о потенциальной энергии (например, сила тяжести или сила
упругости), то
W = Т + Wp= const, B4)
т. е. полная механическая энергия системы остается неизменной.
Если же н"а систему действуют и какие-либо другие силы, то меха-
ническая энергия системы может изменяться. В этом случае
W — Wo = А, B5)
где А — работа непотенциальных сил. Если А > 0, то механичес-
кая энергия системы увеличивается, а если А < 0, то механическая
энергия уменьшается (например, в случае, когда на тела системы
действуют силы трения).
Под мощностью понимается отношение
N = —, B6)
At V '
где ДЛ — работа, совершаемая за бесконечно малый промежуток
времени А^.
Если сила/7 приложена к движущемуся телу, то ее мощность рав-
на
N = F v cos a, B7)
29
где v — скорость той точки, к которой приложена сила F, а а —
угол между векторами F и v. Если а = 0, то N = F v.
134. Брусок массой 5 кг проходит по шероховатой горизонталь-
' ной плоскости 0,5 м и останавливается. Коэффициент трения меж-
ду бруском и плоскостью равен 0,2. Какую работу совершила сила
трения?
135. Человек поднимается по лестнице. Какая сила его движет?
Совершает ли она работу?
136. Может ли потенциальная энергия быть отрицательной?
137. Снаряд массой 6 кг проходит в стволе орудия 2 м и вылетает
с горизонтальной скоростью 600 м/сек. Считая, что снаряд движется
с постоянным ускорением, вычислить мощность, развиваемую ору-
дием за время выстрела.
138. К грузу массой- т приложена постоянная вертикальная
сила, поднимающая его за время t на высоту h. Какую работу со-
вершила сила за время подъема?
139. Тело брошено вверх с начальной скоростью v0- На какой
высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной? (По-
тенциальная энергия отсчитывается от уровня, с которого тело бро-
шено.)
140. Шарик, висящий на нити, отклонили от вертикали на угол
60° и отпустили без начальной скорости (рис. 56). В момент, когда
шарик достиг вертикального положе-
у//ул,<////////у//. ния, он ударился о вертикальную
г "¦
Рис. 56
Рис. 57
кинетической энергии. На какой угол он отклонится после удара?
HI. При ударе шарика о идеально гладкую горизонтальную
плоскость (рис. 57) теряется третья часть его кинетической энергии.
Зная, что угол падения а равен 45°, найти угол отражения р\
142. Вертикально висящая недеформированная пружина имеет
жесткость с — 10 н1см. К нижнему концу пружины подвесили
груз весом 30 н и отпустили без начальной скорости. На сколько
опустится груз? (Массу и вес пружины считать равными нулю.)
143. На. гладкой горизонтальной плоскости лежали два шара,
между которыми находилась сжатая пружина. Затем пружине
дали возможность распрямиться, вследствие чего шары приобрели
некоторые скорости. Вычислить их, зная, что массы шаров равны
1 кг и 2 кг, а энергия сжатой пружины равна 3 дж. (Массу пружины
считать равной нулю.)
144. Два свинцовых шара поступательно движутся навстречу
друг другу по прямой, соединяющей их центры. При столкновении
шаров происходит неупругий удар, после которого шары движутся
вместе. Найти количество тепла, выделившегося при ударе. Первый
шар имел массу 1 кг и скорость 20 м/сек, а второй — массу 2 кг и ско-
рость 4 м/сек.
145. Пуля пробивает ящик, стоящий на гладкой горизонталь-
ной плоскости. Масса пули /и, масса ящика М, пуля подле-
тает к ящику со скоростью v, а вылетает из него со скоростью у/2.
Сколько тепла выделилось при движении пули в ящике?
(Начальную и конечную скорости пули считать горизонтальными.)
146. Пуля попадает в ящик с песком и застревает в нем (рис. 58).
На сколько сожмется пружина жесткостью с, удерживающая ящик,
если пуля имеет массу т и движется (
со скоростью v, а масса ящика с пе-
ском равна М?
147. Шарик массой т, летя-
щий со скоростью v, ударяет в приз-
^
Рис. 58
Рис. 59
му массой М и после удара движется вверх (рис. 59). Считая удар
абсолютно упругим (т. е. не сопровождающимся потерей энергии),
найти скорость шарика и призмы после удара.
148. Тележка массой М стоит на гладкой горизонтальной пло-
скости (рис. 60). На тележке укреплен математический маятник,
имеющий массу т и длину /. В на-
чальный момент тележка и маятник
имели скорость, равную нулю, и
нить маятника образовывала угол а
с вертикалью. Найти скорость тележ-
ки в момент, когда маятник будет про-
ходить через вертикальное положе-
ние. (Колеса тележки считать не
имеющими массы.)
149. На стержне нулевой массы укреплены два шарика (рис. 61).
ОА = АВ = /, начальный угол отклонения стержня равен а, на-
чадьная угловая скорость стержня равна нулю. Найти угловую
31
Рис. 60
скорость стержня в момент, когда он проходит через вертикальное
положение.
150. Через два гвоздя, находящиеся на одной горизонтали, пе-
реброшена нить, к концам которой прикреплены грузы массой т
каждый (рис. 62). К середине нити подвешивают груз массой М
и предоставляют ему падать без начальной скорости. Определить
наибольшее расстояние, на которое опустится груз М, считая, что
длина нити достаточно велика и М < 2т. Трение нити о гвозди не
учитывать.
21
Щ
м
/"
т
II
Рис. 61
Рис. 62
Рис. 63
Рис. 64
151. Найти скорость грузов (см. рис. 28), считая, что каждый
из грузов прошел расстояние s. (Начальная скорость грузов равна
нулю, трение отсутствует, блок не имеет массы.)
152. Найти скорости грузов (см. рис. 35), считая, что правый
груз прошел расстояние s. (Начальные скорости грузов равны нулю,
трение отсутствует, блок не имеет массы.)
153. В конструкции, изображенной на рис. 63, груз т4 опускает-
ся, а груз т2 поднимается. Считая блоки не имеющими массы, най-
ти скорость правого груза в момент, когда он прошел расстояние
s. (Начальные скорости грузов равны нулю, трение отсутствует.)
154. Шестерня / под действием вращающего момента М при-
водит в движение шестерню 2 (см. рис. 36). Шестерня 2 жестко свя-
зана со шкивом 3, на который намотана нить, несущая груз т. Шес-
терни и шкив невесомы; трения нет. Найти скорость груза в момент,
когда он прошел расстояние s. Радиусы шестерен равны /?4 и R2, ра-
диус шкива равен г, начальная скорость груза равна нулю.
155. На однородный вал, способный вращаться вокруг горизон-
тальной оси, намотана нить, к концу которой приложена постоянная
сила F (рис. 64). Когда точка приложения этой силы прошла путь
20 см, скорость вращения вала достигла 50 об/мин. Какой будет ско-
рость вала, когда точка А пройдет еще 20 см? (Вращение вала начи-
налось из состояния покоя.)
32
156. Тонкий однородный обруч катится по плоскости (рис. 65).
Масса обруча равна т, а скорость его центра равна v. Какова кине-
тическая энергия обруча?
157. На тонкий шкив, вращающийся вокруг горизонтальной оси,
намотана нить, к концу которой подвешен груз (рис. 66). Масса гру-
за равна т, масса шкива равна М, массой спиц можно пренебречь;
движение системы начинается из состояния покоя. Какую скорость
будет иметь груз после того, как пройдет расстояние s?
Рис. 65
Рис. 66
Рис. 67
158. Тонкий однородный обруч вкатывается вверх по наклон-
ной плоскости, образующей угол а с горизонтом. Какой должна
быть начальная скорость его центра, чтобы он переместился по пло-
скости на расстояние /? (Обруч катится без скольжения.)
159. Цилиндрический каток диаметром 0,6 м и массой 300 кг
приводится в движение человеком, который давит на рукоятку ОА
с постоянной силой F (рис. 67). Длина АО рав-
на 1,5 м, высота точки А над горизонтом равна §j
1,2 м. Найти силу F, при которой человек,
пройдя 2 м, сообщит оси катка скорость
0,8 м/сгк. Массу катка считать сосредоточенной
в его ободе.
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:50 | Сообщение # 10 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| Радиус инерции и момент
инерции
Пусть твердое тело вращается вокруг непод-
вижной оси (рис. 68). Так как разные его точки
имеют различные скорости, то кинетическую
энергию этого тела можно записать в виде
т (сорJ
Т =
B8)
Рис. 68
где m — масса тела, <в — его угловая скорость и р — некоторое
среднее расстояние точек этого тела от оси вращения. Расстояние
р называется радиусом инерции данного тела относительно оси
вращения.
33
Равенство B8) можно записать в виде
т _ /(°а
B9)
где
/ = тр2. C0)
Величина /, называется моментом инерции данного тела (относи-
тельно данной оси вращения).
Радиусы и моменты инерции различных тел могут быть вычисле-
ны методами высшей математики. (В приводимых ниже задачах они
задаются.)
В СИ радиус инерции измеряется в м, а момент инерции в кгм2.
160. Однородное тонкое кольцо вращается вокруг ос», прохо-
дящей через его центр перпендикулярно его плоскости. Каков ра-
диус инерции этого кольца?
161. Круглый однородный диск массой т насажен на ось, про-
ходящую через его центр перпендикулярно плоскости диска. Диск
начинает вращаться из состояния покоя под действием постоянного
вращающегося момента М. Какой будет его угловая скорость в
момент, когда он повернется на угол ф? Радиус инерции диска равен
R/V2.
162. Шестерня 2 приводится в движение шестерней /, к которой
приложен вращающий момент М (рис. 69). Радиусы шестерен рав-
Рис.-70
Рис. 71
ны R j и R2; масса первой шестерни равна нулю, масса второй шестер-
ни равна т, а ее радиус инерции равен р; движение системы начи-
нается из состояния покоя. Найти угловую скорость шестерни 2
в момент, когда она повернулась на угол ф.
163. Однородный круглый диск приводится во вращение гру-
зом массой т (рис. 70). Диск имеет массу М, радиус R и радиус инер-
ции R/V2; движение начинается из состояния покоя. Найти
скорость груза после того, как он прошел расстояние s.
164. Однородный стержень (рис. 71) отклонен от вертикали на
90° и начинает движение без начальной скорости. Какой будет его
угловая скорость, когда он достигнет вертикали? Длина стержня
равна /, а его радиус инерции равен Ц
34
165. Момент инерции однородного шара относительно оси, про-
ходящей через его центр, равен — mR2. Считая Землю однород-
ной, вычислите кинетическую энергию, обусловленную ее суточным
вращением. Сравните полученную величину с годичной выработкой
электроэнергии во всем мире. (Масса Земли — б ¦ 1024 кг, ми-
ровая добыча электроэнергии — около 5 • 1012 кет • ч в год.)
Вычисление ускорений
В некоторых случаях закон сохранения энергии позволяет вы-
числить ускорение. Пусть, например, нужно найти ускорение приз-
мы, соскальзывающей с гладкой наклонной плоскости (рис. 72).
Пользуясь законом сохранения
энергии и считая, что движение
начинается без начальной скоро-
сти, получим:
-— = mgs sin a, tr = zgs sm а,
где s — путь, пройденный приз-
мой по наклонной плоскости.
Но так как силы, действующие Рис'72
на призму, остаются неизменными,
то призма движется с постоянным ускорением. Поэтому можно напи-
сать:
v2 = 2as,
где а — искомое ускорение. Сравнивая последнее равенство с пре-
дыдущим, приходим к выводу, что
м
а = g sin a.
Подобным способом можно вычислить ускоре-
ние и в ряде других случаев.
166. Вычислить ускорение грузов (см. рис' 28).
_ (Масса блока равна нулю.)
187. Найти ускорения грузов (см. рис. 35),
I считая, что масса блока равна нулю.
|L 168. Тонкий однородный обруч скатывается с
Щ наклонной плоскости, образующей угол а с гори-
зонтом. Найти ускорение центра обруча.
169. Найти ускорение груза, изображенного на
рис. 73. Масса груза равна т, масса вала равна
нулю, момент, вращающий вал, равен М, радиус вала равен R.
170. Решить предыдущую задачу, считая, что вал имеет массу
т и радиус инерции р.
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:51 | Сообщение # 11 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| § 8. СТАТИКА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1. Силы, приложенные в одной точке
Две силы, приложенные в одной точке, складываются по пра-
вилу параллелограмма. Если нужно сложить несколько таких
сил, то можно либо применить несколько раз правило параллело-
грамма, либо воспользоваться более простым способом — способом
силового многоугольника. Пусть, например, требуется сложить
силы FJ, F2, F3 (рис. 74, слева). С этой целью Еыбираем произволь-
ную точку О и откладываем от нее вектор Ft (рис. 74, справа). Затем
Рис. 74
из конца этого вектора проводим вектор F2, а из его конца — вектор
Fa. После этого соединяем начало первого вектора с концом послед-
него и получаем вектор R — вектор равнодействующей. Теперь
этот вектор следует перенести в точку А, ибо равнодействующая
рассматриваемых сил приложена в этой точке. Многоугольник
OFJF?FZ называется силовым.
Силы, приложенные в одной точке, можно складывать не только
геометрически, но и аналитически. Это делается по формулам:
Rx = Fu+ F2x+ ... + Fnx, |
Ry = Fiy+ F2y + ... +Fny, J C1)
—»
где Fu, ..., Fnjl, Fiy, ..., Fny —проекции на оси х и у сил F,,
..., Fn, а!!, и Ry — проекции на оси х, у равнодействующей R.
(Сущность этого способа состоит в том, что каждую из сил Ft, F2,
..., ^п мы раскладываем на две составляющие, одна из которых на-
правлена по оси х, а другая — по оси у; после этого складываем все
составляющие, идущие вдоль оси х, а затем — все составляющие,
идущие вдоль оси у.) Вычислив поформулам C1) проекции R^, Ry
(составляющие Rx, R ), легко найти равнодействующую R (см.
задачи 171, 172).
36
Аналитический способ сложения сил обычно проще геометри-
ческого.
Если силы, приложенные в одной точке, уравновешиваются, то
R = 0 и , следовательно,
Fix+Flx+...
... +Fny=0.
C2)
Равенства C2) называются уравнениями равновесия (для сил, при-
ложенных в одной точке).
Рис. 75
Рис. 77
171. Найти равнодействующую сил (рис. 75): F\ = 50 н, F2 =¦
= 100 н, F3 = 60 н, Fk = 200 к.
172. _Найти равнодействующую сил (рис. 76): Ft = 100 н, F2 =
= 50 КЗ н, Fg = 50 н.
173. Груз весом Р удерживается с помощью нитей АВ и ВС
(рис. 77). Зная угол а, найти натяжения этих нитей.
174. Стержень весом Р удерживается с помощью нитей АВ,
ВС, CD (рис. 78). Зная угол а, найти натяжения этик нитей.
175. Грузы Р и Q висят, как показано на рис. 79. Зная углы а,
Р и вес Р, найти вес Q.
Рис. 79
37
2. Параллельные силы
о
Две параллельные силы складываются по правилу: равнодей-
ствующая параллельных сил Fit F2 равна F1+f2 и Делит рас-
стояние между этими силами на части, обратно пропорциональные
числам Fi( F2. Однако это правило (а также его модификация для
случая, когда силы направлены в противоположные стороны) срав-
нительно сложно. Поэтому параллельные силы лучше складывать
по правилу моментов, которое состоит в следующем.
Пусть нужно сложить несколько параллельных сил, например
силы F u F2, F3 (рис. 80). С этой целью приписываем каждой из сил
некоторый знак, в зависимости от того,
в какую сторону она направлена. Затем
складываем эти силы алгебраически и
находим тем самым величину и направ-
ление их равнодействующей. Например,
если считать силы Fj и F2 положитель-
ными, а силу F3 — отрицательной (мож-
но поступить наоборот), получим:
R = Ft+F2- F3. C3)
Если найденная сумма будет положи-
тельной, то равнодействующая R на-
правлена в положительную сторону,
т. е. вниз, а если эта сумма окажется отрицательной, то равнодей-
ствующая направлена в отрицательную сторону, т. е. вверх.
Найдя величину и направление равнодействующей, переходим
к отысканию ее линии действия. Это делается с помощью прави-
ла: момент равнодействующей равен сумме моментов складываемых
сил. Чтобы применить это правило, выбираем в плоскости действия
сил произвольную точку О, вычисляем алгебраическую сумму мо-
ментов всех сил относительно этой точки и приравниваем ее моменту
равнодействующей R относительно той же точки. Например, если
вращение по часовой стрелке считать положительным, то в случае,
изображенном на рис. 80, получим:
а
d,
\
¦/?
4 1
—¦ *».
Рис.
Ftdt
F3d3 = Rd.
C4)
Поскольку сила R была перед этим найдена, то написанное равен-
ство позволяет вычислить плечо d, определяющее линию действия
равнодействующей. (Точкой приложения равнодействующей мож-
но считать любую точку на линии ее действия.) Если полученное
число d окажется отрицательным, то это значит, что линия дей-
ствия равнодействующей расположена по другую сторону от
точки О.
38
Если сумма C$ окажется равной нулю, то рассматриваемые
силы не имеют равнодействующи, а сводятся к паре сил. Момент
этой пары равен сумме моментов данных сил относительно точки О.
Если же сумма моментов тоже будет равна нулю, то рассматривае-
мые силы уравновешиваются. {Можно сказать, что они имеют рав-
нодействующую, равную нулю.)
Различные случаи, которые могут представиться при сложении
параллельных сил, рассмотрены в задачах 176—180.
176. Сложить силы (рис. 81): F, = 10 «, F2 = 20 н, /у= 30 н,
F4 = 40 «; А ,Л з = А 2 А3 = АгАк = а.
Fj
Рис. 81
Ь
Рис. 82
177. Найти равнодействующую сил (рис. 82): А^А^ = А2 А3=
a; F, = 10 я, Fz =¦ 20 я, F3 = 50 н.
178. Решить предыдущую задачу, считая силу F3 равной 25 н.
179. Решить задачу 177, считая силу F3 равной 30 м.
180. Найти равнодействующую сил (рис. 83). Ft = 5 н, F% =¦
30 н, F3 = 45 н, F4 = 20 я; ЛИ2 = А2А3= А3А^ = а.
Ai
А:
Рис. 83
2а
Рис. 84
181. Разложить силу R — 30 н на две параллельные силы, при-
ложенные в точках Alt At (рис. 84).
182. Разложить силу R = 50 н на две параллельные силы, при-
ложенные -в точках Аь А 2 (рис. 85).
183. Однородное тело, состоящее из цилиндра и полушара, стоит
на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 86). При каких значе-
ниях h это положение устойчиво? Центр тяжести полушара находит-
ся в точке Сь расстояние OCi равно — R.
8
а а
4
Рис. 85
Рис. 86
184. Масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а расстояние
между центрами Земли и Луны равно 384 000 км. Где находится
центр тяжести (точнее, центр масс) системы Земля—Луна?
3. Уравнения равновесия
Пусть на твердое тело действуют произвольные силы Fu F2,-.-,
Fn, лежащие в одной плоскости. Для того чтобы система этих сил
была уравновешенной, должны обращаться в нуль три следующие
суммы:
1) сумма проекций всех сил на ось х;
2) сумма проекций всех сил «а ось у;
3) сумма моментов всех сил относительно какой-либо оси, про-
ходящей через произвольно выбранную точку О перпендикулярно
плоскости действия сил.
Эти условия можно записать в виде равенств
Fix
2X
Mo (Fi) + MO(P2)
... + Fnx = 0,
- + Fny = 0,
... + M0(Fn) = 0,
C5)
которые называются уравнениями равновесия. (Символ Mo(Fh)
обозначает момент силы Fh относительно точки О.)
Оси х, у и точку О можно выбирать произвольно. Обычно их (осо-
бенно точку О) выбирают так, чтобы выкладки были более прос-
тыми.
40.1
Иногда для решения задачи достаточно составить не три урав-
нения C5), а лишь два из них или одно (если в задаче меньше трех
неизвестных величин; см., например, задачи 185, 186, 187).
185. Невесомый стержень АВ длиной 1 м подвешен на двух ни-
тях (рис. 87). В точке С на расстоянии АС — 0,25 м к стержню под-
вешен груз Р весом 120 «. Вычислить натяжения нитей.
2м
0,5м
В
Рис. 87
Рис. 88
186. Однородная горизонтальная балка заложена в стену так,
что опирается на нее в точках А и В (рис. 88). Вес балки Q = 600 «,
вес груза на ее конце Р = 500 «; размеры указаны на чертеже. Най-
ти реакции стены в точках А и В.
187. Однородные стержни АВ и ВС скреплены друг с другом в
точке В (рис. 89). Стержень АВ вдвое короче и вдвое легче стержня
ВС; угол ABC прямой. Найти угол а.
188. Невесомый стержень АВ шарнирио укреплен в точке С
и связан двумя нитями с однородным стержнем DF, шарнирно ук-
репленным в точке F (рис. 90). АС = 2а, СВ = a, DF — 4а, вес
стержня DF равен Р. Найти натяжения нитей.
Рис. 89
Рис. 90
Рис. 91
189. Однородная балка весом 600 н и длиной 4 м опирается о
гладкий пат и о выступ В, находящийся на высоте 3 м над полом
(рис. 91). Балка образует угол 30° с вертикалью и удерживается
веревкой АС, протянутой у самого пола. Вычислить натяжение ве-
ревки, реакцию пола и реакцию выступа В.
41
19Э. Однородный стержень АВ упирается одним концом в угол
и удерживается за другой конец нитью (рис. 92). Вес стержня ра-
вен Р, а угол его наклона к горизонту равен а. Найти натяжение
нити, а также давление стержня на пол и на стену.
I
/Г
90'СКЗ
Рис. 92
Рис. 93
191. Тонкий однородный стержень шарнирно укреплен в точ-
ке Л и удерживается нитью ВС (рис. 93). Вес стержня равен Р,
угол его наклона к горизонту равен а. Найти реакцию шарнира и
натяжение нити.
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:52 | Сообщение # 12 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| 4, Трение
При скольжений шероховатых тел возникает сила трения, имею-
щая величину
F = kN, C6)
где N — сила давления между трущимися телами, a k — коэффи-
циент трения. Трение может возникнуть и когда скольжения нет
(например, если тело лежит на шероховатой наклонной плоскости).
В этом случае сила трения удовлетворяет неравенству
F < kN, C7)
т. е. может иметь любое значение, не превосходящее kN.
192. Верхний конец лестницы опирается на гладкую вертикаль-
ную стену, а нижний находится на шерохо-
ватом полу. Коэффициент трения между ле-
стницей и полом равен 0,5. При каком нак-
лоне лестницы она будет находиться в рав-
новесии?
193. Однородный стержень АВ опи-
рается о шероховатый пол и о гладкий
выступ С (рис. 94). Угол наклона стержня
равен 45°, расстояние АС равно 0,75 АВ.
При каком коэффициенте трения стержень
будет находиться в равновесии в указан-
Рис. 94 ном положении?
\V4\\\SNN\\\\\\\V,\\\\'
42
194. Решить предыдущую задачу, считая, что пол гладкий,
а выступ шероховатый.
195. Однородный стержень АВ опирается о шероховатый пол
и удерживается в равновесии горизонтальной нитью ВС (рис. 95).
Коэффициент трения между стержнем и полом равен 0,5. При ка-
ком наклоне стержня возможно это равновесие?
Рис. 95 Рис. 96
196. Однородный стержень АВ шарнирно укреплен в точке А
и опирается о тележку (рис. 96). Коэффициент трения в точке В
равен 0,2, а сила давления стержня на тележку равна N. Какую го-
ризонтальную силу нужно приложить к тележке, чтобы сдвинуть
ее влево? (Силу трения тележки о пол не учитывать.)
197. Решить предыдущую задачу, считая, что тележку нужно сдви-
нуть вправо.
5. Простые машины
Рассмотрим какой-нибудь механизм, между звеньями кото-
рого нет трения. Пусть к одной из его точек приложена сила, под
действием которой механизм приходит в движение и совершает ра-
боту. Тогда
Ai = A2, C8)
где Ai — работа, совершаемая приложенной силой (затраченная
работа), а А2 — работа, совершаемая механизмом (полезная ра-
бота). Если сила, движущая механизм, равна Fu а сила, которую
механизм преодолевает, равна F2, то
Fj s4 cos оц = F2s2 cos a2, C9)
где st и s2 — перемещения точек, к которым приложены силы Ft
и F1, a a.i и а2 — соответствующие углы. Равенство C9) позволяет
установить связь между силами Fu F2 по известным перемещениям
звеньев механизма. Если, как это часто бывает, ах = а2 — 0, то
FiSi = F 2s2 D0)
или
u = h. D1)
43
Равенство D1) выражает «золотое правило механики».
Если имеется несколько сил, приводящих механизм В движение,
и несколько сил, которые он преодолевает, то равенство C8) при-
нимает вид:
ЪА1 = ZAp D2)
где HAt — сумма затраченных работ, а 2Л^—сумма полезных работ.
Если полезная работа состоит в подъеме некоторых грузов, то в
правой части равенства D2) должно стоять увеличение соответствую-
щей потенциальной энергии.
Равенства C8) и D2) справедливы и тогда, когда механизм нахо-
дится в равновесии (т. е. когда силы, движущие механизм, уравно-
вешиваются силами, препятствующими его
движению). В этом случае Л; и Aj — работы
не на фактических перемещениях, а на вооб-
ражаемых (т. е. на тех, которые возникли бы,
если бы механизм пришел в движение).
Если в механизме имеется трение, то
нужно учитывать работу, затрачиваемую на
его преодоление.
198. На рис. 97 изображен так называе-
tibii дифференциальный блок. Какой должна
' быть сила F, чтобы груз Р находился в равно-
весии? Верхний блок имеет радиусы R и г,
нижний блок невесом.
199. На рис. 98 схематически изображен
дифференциальный ворот. Какую силу нуж-
но приложить к рукоятке,чтобы равномер-
но поднимать груз Р? Вал имеет радиусы г и
/, а рукоятка — радиус R. (Весом рукоятки и блока пренебречь.)
200. Груз весом Р поднимают с помощью червячной передачи
(рис. 99). Шесгерня передачи имеет 30 зубьев, радиус вала, на ко-.
Рис. 97
Рис. 98
Рис. 99
44
A*,
торый намотан трос, равен R.
Какой вращающий момент надо
приложить к рукоятке, чтобы
равномерно поднимать груз? По-
тери на трение не учитывать.
201. Решить предыдущую за-
дачу, считая, что коэффициент
полезного действия передачи
равен 80%.
202. Три зубчатых колеса
связаны друг с другом так, как
показано на рис. 100. Радиусы колес равны Rit R2, з
приложенный к первому колесу, равен Mt. Какой момент М3 на-
до приложить к третьему колесу, чтобы колеса не вращались?
203. Решить предыдущую задачу, считая, что к первому колесу
приложен момент Mt по часовой стрелке, а ко второму — момент
М2 против часовой стрелки.
204. Система, изображенная на рис. 101, находится в равнове-
сии. Зная вес Р, найти силу F.
Рис. 100
момент,
Рис. 102
205. На рис. 102 схематически показаны весы, на чашках кото-
рых стоят гири Ру и Р2 одинакового веса. Нарушится ли равнове-
сие , если переставить гирю Р2 на край чашки?
§ 9. ТЯГОТЕНИЕ
1. Закон всемирного тяготения
Сила гравитационного взаимодействия двух тел равна
F = G М , D3)
где ffl(Hffl2 — массы тел, г — расстояние между ними и G — гра-
витационная постоянная. В СИ она имеет значение
G = 6,67 • 10-" н • м21кг\
D4)
45
Равенство D3) справедливо для тел, размеры которых малы по
сравнению с расстоянием между ними, а также для однородных ша-
ров любых размеров. В последнем случае г означает расстояние
между центрами шаров.
Из равенства D3) следует, что сила, с которой тело массы т при-
тягивается к Земле, равна
Р = G ^-, D5)
г%
где М — масса Земли, а г — расстояние от центра Земли до дан-
ного тела. Если, в частности, тело находится на поверхности Земли;
то
где R — радиус Земли. Из этого соотношения следует, что 0= —,
м
и поэтому формулу D5) можно записать в виде
Р = tng ?. D6)
Полученное равенство показывает, как изменяется сила тяжести
при удалении от Земли.
206. Два медных шара массой 100 т каждый касаются друг дру-
га. С какой силой они притягиваются? (Плотность меди 8,9 г/см3.)
207. В качестве единицы массы было предложено взять массу
такой материальной точки, которая, притягивая точно такую же точ-
ку,находящуюся на расстоянии 1 м, сообщает ей ускорение 1 м!сгкг
(гравитационная единица массы). Как велика эта единица?
208. Вообразим, что строительная техника позволяет возводить
сколь угодно высокие сооружения. Какую высоту должна иметь баш-
ня, расположенная на экваторе Земли, чтобы тело, находящееся на
ее вершине,. было невесомым?
209. Радиус Луны 1760 км, а сила тяжести на Луне в шесть раз
меньше, чем на Земле. Какова на Луне первая космическая скорость?
210. Искусственный спутник движется вокруг Земли с первой
космической скоростью. Доказать, что период его обращения совпа-
дает с периодом воображаемого математического маятника, длина
которого равна радиусу Земли.
211. Планета представляет собой однородный ..шар с плотностью
р. Каков период обращения искусственного спутника, движуще-
гося вблизи ее поверхности?
212. Спутник Сириуса, так называемый Сириус В состоит из
вещества с плотностью 60 • 10* кг1мъ. Каким был бы период обра-
щения искусственного спутника Земли, если бы Земля имела такую
плотность?
213. Радиус орбиты Нептуна в 30 раз больше радиуса орбиты
Земли. Какова продолжительность года на Нептуне?
46
214. Радиус земной орбиты 150 млн. км, а радиус Солнца
700 000 км. Какова средняя плотность Солнца?
215. Две звезды одинаковой массы т движутся по окружности
радиуса R, оставаясь одна против другой. Пренебрегая влиянием
других небесных тел, найти скорость движения этих звезд.
216. Как изменится ответ предыдущей задачи, если в центре
окружности будет находиться еще одна звезда массой пп
2. Гравитационное поле планеты
Тело, находящееся в гравитационном поле Земли, обладает по-
тенциальной энергией. Если за уровень, от которого она отсчитыва-
ется, взять поверхность Земли, то эта энер-
гия будет зависеть от высоты тела над Зем-
лей, т. е. от расстояния г (рис. 103) и радиуса
Земли. Но потенциальную энергию можно
отсчитывать и от какого-нибудь другого
уровня, например от показанного на рис. 103
пунктиром. Тогда она будет зависеть от рас-
стояния г и радиуса г0. В математическом от-
ношении наиболее удобным значением г0 яв-
ляется г0=оо, ибо тогда выражение для по-
тенциальной энергии оказывается наиболее
простым. В этом случае она вычисляется
по формуле Рис. 103
ш л— D7)
где М — масса Земли, т — масса тела иг— расстояние от тела
до центра Земли. Из формулы D7) видно, что эта энергия отрица-
тельна. (Так как г0=оо, то тело лежит «ниже» нулевого уровня.)
Формула D7) напоминает известную формулу из электростати-
ки. Пусть частица, несущая отрицательный заряд q, находится в
электрическом поле шара, заряд которого равен + Q- Тогда по-
тенциальная энергия этой частицы равна
W=-k*L, D8)
где k — коэффициент пропорциональности в законе
D9)
зависящий от выбора единиц. (Числа Q и q в формулах D8), D9)
берутся по абсолютной величине, т. е. без учета знака заряда.)
Так как G = — (см. вывод формулы D6) на стр. 46), то фор-
м
мулуD7) можно записать в виде
E0)
47
Кроме того, очевидно,
WP = - Fr, E0')
где F =-G —— сила тяготения. (Соотношение E0') более удобно
г
.2
для запоминания.)
Все сказанное справедливо как для гравитационного поля Земли,
так и для гравитационного поля любой планеты.
217. Тело массой т удалено от Земли на много миллионов кило-
метров. Какова его потенциальная энергия относительно поверх-
ности Земли? (Радиус Земли считать известным.)
218. Зная, что радиус Земли равен 6400 км и g = 9,8 м/сек2, вы-
числить вторую космическую скорость.
219. Радиус Луны 1760 км, а ускорение свободного падения в
шесть раз меньше, чем на Земле. Какова на Луне вторая космичес-
кая скорость?
220. Планета имеет массу М и радиус R. Какова на этой плане-
те вторая космическая скорость?
221. Телу, находящемуся на поверхности Земли, сообщена вер-
тикальная скорость 6 км/сек. Считая, что сопротивление воздуха
отсутствует, найти максимальную высоту его подъема. (Радиус Зем-
ли 6400 км.)
222. Телу, находящемуся на поверхности Земли, сообщена вер-
тикальная скорость 15 км/сек. Какую скорость будет оно иметь-,
когда удалится в бесконечность? Сопротивление атмосферы и влия-
ние других небесных тел не учитывать.
223. На некоторой планете вторая космическая скорость рав-
на 12 км/сек. Телу, находящемуся на поверхности этой планеты,
сообщена вертикальная скорость 13 км/сек. Какую скорость будет
оно иметь в бесконечности?
224. Вообразим, что Земля потеряла свою орбитальную скорость
и стала падать на Солнце. С какой скоростью подойдет она к его
поверхности? Радиус земной орбиты 150 млн. км, радиус Солнца
700 000 км, орбитальная скорость Земли 30 км/сек.
225. Искусственный спутник Земли движется на высоте, рав-
ной радиусу земного шара. Сравните его кинетическую энергию
с потенциальной энергией относительно поверхности Земли.
226. Тело массой т находится на высоте h над Землей. Вычис-
лить его потенциальную энергию относительно поверхности Земли
и доказать, что при небольших значениях h ее можно считать рав-
ной mgh.
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:52 | Сообщение # 13 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| § 10. КОЛЕБАНИЯ
Гармоническое колебание описывается уравнением
х — A sin (oat + ф0), E1)
где х ±- смещение точки из положения равновесия, А — амплиту-
да, со — круговая частота, ф0 — начальная фаза. Величина <at + ср0
48
называется фазой колебания. (Фаза и начальная фаза изме-
ряются в угловых единицах.) Гармоническим является также коле-
бание, описываемое уравнением
х = A cos {at + фо),
ибо его можно представить в виде
x = A sin [at + Фо + —
\ 2
Скорость и ускорение точки, движущейся по закону E1), опре-
деляются по формулам
v — A a cos (co? + фо), E2)
а = — A a2 sin (at + ф0), E3)
которые можно записать также в виде
v = A a sin (ю/ + Фо + —) , E4)
а = А со2 sin (сй? + фо + л). E5)
Сравнивая выражения E4) и E5) с E1), видим, что скорость
и смещение сдвинуты по фазе на 90°, а ускорение и смещение —
на 180°. Из E4) и E5) получаем:
Период гармонического колебания равен
Т = -. E6)
Из выражений E1), E3) следует, что а = —со2 х. Поэтому
F = та = — /п со2 х,
или
F= -fee, E7)
где & = та2 — некоторый постоянный для данного движения ко-
эффициент. Соотношение E7) выражает характерную особенность
гармонического колебания — каждое такое колебание совершается
под действием силы типа E7), и, наоборот, всякое движение, со-
вершающееся под действием такой силы, является гармоническим
колебанием. Сила вида E7) называется восстанавливающей. Она про-
порциональна отклонению точки от положения равновесия и направ-
лена в сторону, противоположную этому отклонению (т. е. имеет
тенденцию восстановить равновесие). Коэффициент k называется
коэффициентом восстанавливающей силы.
Так как k = та2 и Т = —, то
(О
Т = 2п l/p E8)
Формула E8) позволяет вычислять период по известной массе и
известному коэффициенту восстанавливающей силы.
43
Восстанавливающая сила может иметь различную физическую
природу. Простейшей силой такого рода является сила, развивае-
мая пружиной. В этом случае коэффициент k называется жестко-
стью пружины. Если обозначить ее через с, то
Т = 2я -i/я . E9)
Эта формула определяет период колебаний, совершающихся под
действием пружины (или нескольких пружин). Она верна как в
случае горизонтальных колебаний (рис. 104),
так и в случае вертикальных колебаний
(рис. 105).
Рис. 104 Рис. 105
Если амплитуда колебаний математического маятника невелика,
то их можно считать гармоническими. Период этих колебаний равен
T = 2я у - , F0)
где / — длина маятника.
227. На какую высоту над Землей надо поднять математический
маятник, чтобы период его колебаний увеличился на 1%?
228. В шахту какой глубины надо опустить математический маят-
ник, чтобы период его колебаний возрос на 1%?
229. Формулой Т — 2я 1/ i_ можно пользоваться лишь при не-
' 8
больших колебаниях маятника. Более точной является формула
Т = 2:
где а — амплитуда, выраженная в радианах. Как велика поправ-
ка, которую вносит эта формула при а = 20° и а. = 45°?
230. Горизонтальная платформа совершает гармонические ко-
лебания в своей плоскости с частотой 2 гц и амплитудой 1 см. На
платформе лежит груз, коэффициент трения которого о платформу
равен 0,2. Будет ли груз скользить по платформе?
231. Груз, висящий на пружине, совершает вертикальные коле-
бания. Каков период этих колебаний, если масса груза равна 2 кг,
а жесткость пружины 450 н/м? Каким будет период этих колеба-
ний на Луне?
232. Когда груз неподвижно висел на вертикальной пружине,
ее удлинение было равно 5 см. Затем груз оттянули и отпустили,
50
II
вследствие чего он начал колебаться. Каков период этих
колебаний?
233. Груз (рис. 104) имеет массу 1 кг, а связанные
с ним пружины имеют жесткость 2500 н/м. Какой бу-
дет амплитуда колебаний этого груза, если сообщить ему
начальную скорость 2 м!сек? Горизонтальная плоскость
гладкая.
234. Решить предыдущую задачу, считая, что ско-
рость 2 м/сек была сообщена грузу после того, как его
отклонили на 3 см от положения равновесия.
235. Груз связан с пружиной посредством нити (рис.
106). Может ли он совершать вертикальные гармониче-
ские колебания с амплитудой 2 см и частотой 5 гц?
236. Один математический маятник имеет период 3 сек, а дру-
гой — 4 сек. Каков период колебаний математического маятника,
длина которого равна сумме длин указанных маятников?
237. Груз, подвешенный на пружине, совершал вертикальные
колебания. Когда он имел массу ти период колебаний был равен
0,6 сек, а когда его массу сделали равной т2, период стал равным
0,8 сек. Каким будет период колебаний этого груза, если его масса
будет равна ту -j- m2. (Числа /п4 и т2 неизвестны.)
238^ Вообразим, что между Москвой и Ленинградом прорыт пря-
молинейный тоннель, в котором проложены рельсы (рис. 107).
Рис. 106
Рис. 107
Как будет вести себя вагон, поставленный на эти рельсы, если на
его пути не будет трения и сопротивления воздуха? Сколько вре-
мени он будет двигаться до Ленинграда? (Начальная скорость ва-
гона равна нулю.)
.239. Точка совершает гармонические колебания между положе-
ниями С и D (рис. 108). Зная, что путь от О до D она проходит за
3 сек, вычислить время, которое она затрачивает на первую полови-
ну этого пути (О — середина отрезка CD).
0
D
Рис. 108
S1
240. Точка совершает гармонические колебания между положе-
ниями С и D (рис. 108). Зная, что ее максимальная скорость рав-
на 10 м/сек, найти ее среднюю скорость на пути от С к D.
241. Колебания описываются уравнением х — 3 sin at +
+4cosG)?. Какова их амплитуда? Являются ли они гармоничес-
кими?
§ 11. ДВИЖУЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
Пусть некоторая система отсчета движется с ускорением посту-
пательно. Тогда все, что в ней происходит, будет протекать так,
будто эта система неподвижна, но на каждое находящееся в ней
тело действует сила инерции. Эта сила равна (—та), где а — уско-
рение, с которым движется система отсчета, am — масса тела. (Знак
минус покааывает, что сила инерции направлена противоположно ус-
корению системы отсчета.) Простейшим примером служит уско-
ренно поднимающийся лифт. В нем все явления протекают так,
будто на находящиеся там тела действуют силы инерции, направ-
ленные вниз (ибо ускорение лифта направлено вверх). Поэтому
тело, лежащее в этом лифте, давит на пол с силой mg+ma, а тело,
свободно падающее, имеет относительно лифта ускорение т та.
т
Если система отсчета движется прямолинейно и равномерно, то
а = 0, т. е. силы инерции отсутствуют. Следовательно, в системе,
' движущейся прямолинейно и равномерно, все явления протекают так
же, как в неподвижной системе. Это положение называется прин-
ципом относительности или принципом Галилея.
242. Поезд движется прямолинейно с постоянным ускорением
а. В одном из вагонов поезда висит математический маятник, не-
подвижный относительно этого вагона. Какой угол образует маят-
ник с вертикалью?
243. В лифте, поднимающемся с постоянным ускорением а,
колеблется математический маятник. Каков период его колебаний?
Как изменится ответ, если лифт будет двигаться с ускорением вниз?
244. Математический маятник находится в поезде, движущем-
ся вправо с постоянным ускорением а. Каков период колебаний
маятника?
245. В вагоне неподвижного поезда висит математический маят-
ник. В некоторый момент поезд трогается и движется с постоянным
ускорением а, вследствие чего маятник начинает отклоняться назад.
Каков максимальный угол его отклонения? (Поезд движется пря-
молинейно.)
246. Вагон движется по прямой с постоянным ускорением а =
= 1,8 м/сек2 (рис. 109). В вагоне находится математический маятник,
нить которого в начальный момент горизонтальна. Найти скорость
маятника относительно вагона в момент, когда маятник будет прохо-
дить через нижнее положение. Длина Маятника равна 1 м.
52
247. В вагоне равномерно и прямолинейно движущегося поезда
висит математический маятник длиной 1 м. В некоторый момент
поезд начинает тормозить и движется с замедлением 9,8 м/сек2. Ка-
кова скорость маятника относительно вагона в момент отклонения
на угол 45°?
248. Гладкая наклонная плоскость, показанная на рис. ПО,
движется вправо с ускорением а. На плоскости лежит брусок мас-
сой т, удерживаемый нитью АВ. Найти натяжение нити и давление
бруска на плоскость.
Рис. 109
Рис. НО
249. Нить АВ, о которой говорилось в предыдущей задаче, обор-
валась. Найти ускорение бруска относительно наклонной
плоскости.
Рис. 111
Рис. 112
250. Однородный стержень АВ (рис.111) шарнирно связан о
точкой А и опирается концом В о гладкую горизонтальную плос-
кость. С каким ускорением должна двигаться вправо точка А, чтобы
давление стержня на плоскость было разно нулю?
251. Однородный брусок шарнирно укреплен на тележке, дви-
жущейся с ускорением, направленным вправо (рис. 112). Каким
должно быть это ускорение, чтобы брусок начал поворачиваться
вокруг шарнира С? Размеры указаны на чертеже.
53
252. В лифте, поднимающемся с ускорением а, стоит ящик с пес-
ком. Камень массой т, находящийся на высоте h над поверхностью
песка, начинает падать без начальной скорости (относительно лифта).
Какое капичество тепла выделится при ударе камня о песок?
253. Решить предыдущую задачу, считая, что камень падал не
в лифте, а в поезде, движущемся с ускорением а по прямолинейно-
му горизонтальному пути.
254. Корабль движется поступательно и прямолинейно с пос-
тоянной скоростью v. По палубе едет велосипедист, двигаясь от но-
са к корме. Если скорость велосипедиста относительно палубы будет
равна у, то он в сущности будет оставаться неподвижным (относи-
тельно берега). Сможет ли велосипедист сохранять в этом случае
равновесие?
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:53 | Сообщение # 14 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| § 12. ГИДРО- И АЭРОМЕХАНИКА
Если жидкость покоится и на нее действуют только силы, при-
ложенные к ее поверхности, то во всех точках жидкости давление
одинаково (закон Паскаля).
Если однородная жидкость находится в поле силы тяжести и
точка В лежит ниже точки А, то
Рв = Ра + Pg(hA — hB), F1)
где рА и рв —давления в точках А я В, (На— Лв) — разность
высот этих точек и р — плотность жидкости.
На тело, погруженное в однородную жидкость, действует вытал-
кивающая сила F, равная весу вытесненной жидкости (закон Ар-
химеда). Если объем вытесненной жидкости равен V, а ее плотность
равна р, то
F= pgV. F2)
Законы Паскаля и Архимеда верны также для газов.
255. Жидкость сжимается поршнем (рис. 113). Сила, приложен-
ная к поршню-, равна F, а площадь дна сосуда равна s. Найти дав-
Рис. 113
Рис. 114
и
Рис. 115
54
ление в жидкости. (Атмосферное давление и вес жидкости и поршня
не учитывать.)
256. Невесомая жидкость находится между двумя поршнями,
жестко связанными друг с другом (рис. 114). Сила, действующая
на верхний поршень, равна F, а площади поршней равны S и s.
Найти давление в жидкости. (Атмосферное давление не учитывать,
толщиной штока, соединяющего поршни, пренебречь.)
257. В U-образной трубке (рис. 115) находится ртуть. На сколь-
ко повысится уровень в правой части трубки, если в левую налить
воды так, чтобы она образовала столб высотой Н — 136 мм? (Пра-
вое и левое колено одинаковы.)
258. В трех одинаковых сообщающихся сосудах находится ртуть
(рис. 116). Когда в левый сосуд налили слой воды высотой 102 мм,
а в правый — высотой 153 мм, уровень ртути в среднем сосуде повы-
сился. На сколько?
259. Концы U-образной трубки (см. рис. 115) на 26слвыше уров-
ня ртути. После того как левое колено заполнили водой, она обра-
зовала столб высотой А. Вычислить А.
А
В
В
Рис. 116
Рис. 117
260. В сосуды с водой опустили две трубки (рис. 117) и откача-
ли из них часть воздуха. (Из левой — больше, из правой — мень-
ше.) Будет ли вода переливаться из левой трубки в правую, если
соединить их, как показано пунктиром?
261. Ответить на вопрос предыдущей задачи в случае, когда
уровень АА ниже уровня ВВ.
262. В цилиндрическом сосуде с водой плавает кусок льда. Как
изменится уровень воды в сосуде, когда лед растает?
263. Ответить на вопрос предыдущей задачи в случае, когда внут-
ри льда находится кусок свинца.
264. Решить задачу 262 в случае, когда внутри льда находится
кусок дерева.
265. В цилиндрическом сосуде плавает деревянный брусок,
под которым находится тонкий резиновый шар, наполненный во-
дородом (детский «воздушный шар»). Как изменится уровень воды
в сосуде, если шар всплывет и улетит? (Весом шара пренебречь.)
55
266. Жидкость налита в конический сосуд, показанный на
рис. 118. Вес жидкости равен Р, ее плотность равна р, высота рав-
на # и площадь дна равна S. Пренебрегая атмосферным давлением,
вычислить силу, с которой жидкость действует на боковую поверх-
ность сосуда.
267. Решить задачу 266 для сосуда, показанного на рис. 119.
268. Сосуд с водой движется вправо с постоянным ускорением а
(рис. 120). Как будет расположена свободная поверхность воды?
а
В
Рис. 1)8
Рис. 119
269. В сосуде (см. задачу 268) вода расположилась так, как по-
казано на рис. 120. Каково давление воды в точке А? (Все размеры
считать известными.)
270. Деревянный куб плавает на поверхности пруда. Можно
ли сказать, что вода действует на него с силой, равной pgV, где
V — объем вытесненной воды, а р — ее плотность?
271. Со дна озера всплыл кусок дерева. За счет чего увеличи-
лась его потенциальная энергия?
272. В воде тело весит Р{, а в керосине — Р2. Найти его вес в
глицерине. Плотность воды 1000 кг1мь, плотность керосина 800 кг/м3
и плотность глицерина 1250 кг;мг.
273. Плавая в жидкости А, куб погружался на 40 мм, а плавая
в жидкости В — на 60 мм. На сколько он погрузится в жидкости С,
плотность которой равна среднему арифметическому плотностей
двух первых жидкостей?
Рис. 121
66
274. В сосуде находится жидкость с плотностью р1( а под ней
—жидкость с плотностью р 2. Куб плавает, будучи погруженным на-
половину в первую жидкость и наполовину во вторую. Какова
плотность вещества, из которого сделан куб?
275. Перевернутый стакан наполнен водой и подвешен на нити
(рис. 121). Кромка стакана касается воды. Вес стакана равен Р, а
вес находящейся в нем воды равен Р'. Каково натяжение нити? (Тол-
щиной стенок стакана пренебречь.)
276. В U-образной трубке ртуть расположена, как показано
на рис. 122. Площадь поперечного сечения трубки равна S, разность
высот уровней ртути равна Н, плотность ртути равна р. Сколько вы-
делится тепла, если открыть кран К и дать уровням ртути срав-
няться?
277. В баке находится вода. Камень, расположенный у ее по-
верхности, падает без начальной скорости и опускается на дно.
Масса камня равна 260 г, его объем равен 100 см8, глубина дна рав-
на 2 м. Сколько выделится тепла при падении камня?
278. Аэростаты наполняют водородом либо гелием. Плотность
водорода 0,09 кг/м3, плотность гелия вдвое больше, а плотность
воздуха 1,29 кг/м3. На сколько процентов подъемная сила водорода
больше подъемной силы гелия?
279. При движении раскрытого парашюта на него действует
сила сопротивления воздуха. Она равна
F = k pSv2,
где р— плотность воздуха, S — площадь поверхности парашюта,
v — скорость и k — безразмерный коэффициент, равный приблизи-
тельно 0,5. Какую поверхность должен иметь парашют, чтобы па-
рашютист массой 80 кг опускался со скоростью 5 м/сек? Сравните
полученную площадь с площадью комнаты.
ГЛАВА 1Г
ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 13. ТЕПЛОВОЕ РАСШИРЕНИЕ
При нагревании твердого тела его размеры увеличиваются;
при этом
/ = lo(l + at), F3)
5 = So (I + 2аО, F4)
где /о и So — длина и площадь при 0°С, а / и S — при температуре
t°C. Коэффициент а называется коэффициентом линейного расши-
рения. Нагревание твердого тела или жидкости приводит к увели-
чению их объема, которое можно найти по формуле
V = Vo A + РО, F5)
где Ко—объем при температуре 0° С, а V—при температуре t°C. Коэф-
фициент Р называется коэффициентом объемного расширения. Для
твердых тел р = За.
Из равенства F5) следует, что
Р=РоA—РО. F6)
где ро — плотность однородного твердого тела или жидкости при
0°С, а р — при температуре t°C.
Соотношения F3)—F6) являются приближенными и верны
лишь при не очень больших значениях t. Они остаются прибли-
женно верными и тогда, когда под /0, So, Vo, Ро понимают началь-
ные значения соответствующих величин (при температуре t0), a
под /, S, V, р — конечные (при температуре t0 + t).
280. При нагревании металлического кольца его толщина уве-
личилась на 0,5%. Как изменился при этом его внутренний диа-
метр?
281. При температуре 0°?* железный стержень имеет длину
20 см, а алюминиевый — на 10 см меньше. Какой будет разность
длин этих стержней при температуре fC? Коэффициент линейного
расширения железа равен 12- 10~в град'1, а алюминия —24- 10~в
град ~1.
282. Стержень длиной /t сделан из материала с коэффициентом
линейного расширения alt а стержень длиной 1г — из материала с
коэффициентом линейного расширения а2- Стержни спаяли, и полу-
чился стержень длиной li-\-l2. Каков его коэффициент линейного рас-
ширения?
58
283. Цилиндрический алюминиевый сосуд с ртутью нагрели
на 100°. На сколько процентов увеличилась высота столба ртути?
Коэффициент линейного расширения алюминия равен 24- 10~е град'1,
а коэффициент объемного расширения ртути — 18 • 10~5 град'1.
284. Кусок меди погружен в воду. На сколько процентов из-
менится действующая на него выталкивающая сила, если нагреть
его и воду на 40°? Коэффициент линейного расширения меди равен
17 • 10~6 град, коэффициент объемного расширения воды считать
равным 15 • 10~5 град'1.
285. Какую силу надо приложить к стальному стержню, сече-
нием 1 см2, чтобы растянуть его на столько же, на сколько он уд-
линяется при нагревании на Г? Коэффициент линейного расшире-
ния стали равен 12-10~6 град'1, а ее модуль упругости равен 2 • 10й
н/м2.
§ 14. ТЕПЛОТА, РАБОТА, ЭНЕРГИЯ
В силу закона сохранения энергии
AQ = AU + А, F7)
где AQ — количество теплоты, сообщенной телу, AU — прираще-
ние его энергии п А — работа, совершенная телом. (Эти величины
могут иметь любой знак, так как теплота может быть не подведена
к телу, а отнята от него, энергия тела может не увеличиваться, а
уменьшаться, и работа, совершенная телом, может быть как поло-
жительной, так и отрицательной.)
Если изменение внутренней энергии тела не сопровождается
изменением его агрегатного состояния, то
AU =; С At, F8)
где U — внутренняя энергия тела, С — его теплоемкость, и At —
изменение температуры. Если тело однородно, то
AU = cm At, F9)
где т — масса тела, ас — удельная теплоемкость.
При плавлении однородного кристаллического тела его внут-
ренняя энергия увеличивается. В этом случае
AU = 'km, . G0)
где т — масса тела, а 1 — удельная теплота плавления. Если
происходит кристаллизация, то внутренняя энергия тела на столь-
ко же уменьшается.
Если жидкость испаряется, то ее внутренняя энергия возрастает
на величину
AU = гт,. G1)
где т — масса жидкости, а г — удельная теплота парообразования.
Если пар конденсируется, то внутренняя энергия уменьшается на
такую же величину.
т
(Формулы G0), G1) относятся к случаю, когда агрегатное со-
стояние тела изменяется, а его температура остается неизменной.
В противном случае нужно учитывать изменение внутренней энер-
гии и вследствие изменения температуры.)
Количество теплоты измеряют в тех же единицах, что и энер-
гию, т. е. в джоулях. Кроме того, ее часто измеряют в чисто тепло-
вых единицах — калориях или килокалориях. Связь между ука-
занными единицами дается соотношением: 1 кал = 4,19 дж.
286. На какую высоту можно было бы поднять груз в одну тон-
ну, если бы удалось полностью использовать энергию, освобож-
дающуюся при остывании стакана чая? Объем стакана 250 см3,
начальная температура чая 100°С, а конечная 20°С.
287. Объем воды в Мирозом океане равен примерно 13 • 108 км3.
Вообразим, что эту воду охладили на 0,01° и полностью использо-
вали освободившуюся энергию. Как она велика? Сравните ее с го-
довым производством электроэнергии во всем мире (около 5000
млрд. квт-ч).
288. Отвесно падающие лучи солнца приносят на землю ежесе-
кундно 700 дж лучистой энергии на 1 мг. Какую нужно иметь
площадь, чтобы, используя эту энергию с к.п.д. 10%, обеспечить
энергией лампочку в 60 в/п?
. 289. Цех имеет 50 ткацких станков мощностью 1 кет каждый.
Сколько угля нужно было бы ежесуточно сжигать в топке с к.п.д.
50%, чтобы получать теплоту, выделяющуюся при круглосуточной
работе этих станков? (Теплота сгорания угля 7500 ккал/кг.)
290. Поезд, идущий со скоростью 72 км/ч, останавливается с
помощью тормозов. На сколько поднялась бы температура воздуха
в вагонах, если бы вся энергия, поглощаемая при торможении, шла
на нагревание этого воздуха. Масса вагона 20 т, объем вагона
120 л3, плотность воздуха 1,3 кг/м9, удельная теплоемкость воз-
духа 1000 дж/кг ¦ град.
291. Трубка, не содержащая воздуха, соединена с широким со-
судом, наполненным ртутью (рис. 123). Когда открыли кран /С,
в трубку вошел столб ртути высотой h и массой
т. Сколько при этом выделилось тепла?
292. При полном сгорании 1 г углерода
получается углекислый газ СО2, а при не-
полном— окись углерода СО. При этом в
первом ^пучае выделяется 8080 кал, а во вто-
ром — 2420 кал. Сколько тепла выделяется
при сгорании 1 г окиси углерода?
293. Мощность солнечного излучения —
около 65 000 кет на 1 мг поверхности Солн-
ца. Сколько тонн теряет ежесекундно Солнце
вследствие излучения? (Радиус Солнца —
Рис. 123 700 000 км.)
60
294. На что расходуется электроэнергия, потребляемая домаш-
ним холодильником?
295. Холодильник имеет мощность 160 em и производительность
2 ккал «холода» в 1 мин. (Холодильник используется для приготов-
ления льда.) Сколько тепла сообщает он за 1 мин комнате, в кото-
рой установлен?
296. Сжимая газ адиабатически, мы совершаем работу. Увеличи-
вается ли при этом потенциальная энергия газа?
297. Можно ли увеличить внутреннюю энергию горячего тела за
счет уменьшения внутренней энергии холодного тела?
298. Можно ли всю теплоту, взятую от теплового резервуара,
превратить в работу?
299. Сосуд состоит из двух половин, разделенных краном. В од-
ной половине находится идеальный газ, а в другой — вакуум.
Уменьшится ли температура газа, если, открыв кран, дать газу
возможность расширяться?
300. В калориметре находилась вода при температуре 10°С.
Во время первого опыта туда бросили 100 г льда с температурой
0°С, а во время второго—200 г льда с температурой 0°С. При этом
в обоих случаях в калориметре установилась одна и та же темпера-
тура. Какая?
301. Чистую воду можно охладить до температуры —10°С
(неустойчивое состояние). Какая часть воды превратится в лед, если
начнется кристаллизация? (Теплообмен происходит лишь между
водой и льдом; удельная теплота плавления льда 80 кал/г.)
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
| Olex | Дата: Вторник, 27.11.2012, 01:54 | Сообщение # 15 |
|
Лейтенант
Группа: Администраторы
Сообщений: 54
Статус: Offline
| § 15. ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ
1. Уравнение состояния
Идеальный газ подчиняется уравнению
ру = 1 хт, G2)
где р — давление, V — объем, Т — абсолютная температура, m —
масса газа и \i — его молекулярная масса. Константа R, одинако-
вая для всех газов, называется универсальной газовой постоянной.
В СИ она имеет значение
R =8,31 ¦ 103 дж/кмоль • град.
Соотношение G2) называется уравнением Клапейрона—Менделеева.
Так как молекулярная масса газа совпадает с- массой одного
киломоля, выраженной в килограммах, то отношение — равно
числу киломолей данного газа. (Именно поэтому в размерность
константы входит символ кмоль.)
61
Разделив равенство G2) на V, получим:
Р = —рТ, G3)
где р — плотность газа. Следовательно, давление газа пропорцио-
нально его плотности и абсолютной температуре.
Из закона Клапейрона—Менделеева следует, что:
1) если масса и температура газа постоянны, то
pV = const, G4)
т. е.
PiVi = p%Vt
(закон Бойля—Мариотта);
2) если масса и давление газа постоянны, то
У- = const, G5)
т. е.
(закон Гей-Люссака);
3) если масса и объем газа постоянны, то
? = const, G6)
т. е.
?± _-?*
Tt "Г,
(закон Шарля);
4) если масса газа постоянна, то
Цг = const, G7)
т. е.
302. Вода с температурой 27ЭС целиком заполняет закрытый
сосуд объемом 1 л. Каким стало бы давление в этом сосуде, если бы
силы взаимодействия между молекулами воды исчезли?
303. Каков объем одного моля идеального газа при давлении
10в н/м2 и температуре 27°С?
304. Пусть давление измеряется в миллиметрах ртутного стол-
ба, объем — в кубических метрах и масса — в граммах. Каким бу-
дет тогда числовое значение /??
305. В сосуде объемом 12 л находится 25 г азота при температу-
ре 27°С. Каково его давление?
306. Кислород с температурой 77°С и давлением 2 • Ю5н/мг за-
нимает объем 10 л. Какова его масса?
307. Когда из сосуда выпустили некоторое количество газа,
давление в нем упало на 40%, а абсолютная температура — на
20%. Какую часть газа выпустили?
308. В сосуде объемом 1 л находится 1 г газа с температурой
27°С и давлением 12,5 • 105 н/м2. Какой это газ?
309. В сосуде находится озон при температуре 527°С. По про-
шествии некоторого времени он полностью превращается в кисло-
род, а его температура падает до 127°С. На сколько процентов из-
меняется при этом давление?
310. Какова плотность азота при температуре 0°С и давлении
\05н/м2?
311. Найти связь между плотностью газа и его молекулярной
массой при нормальных условиях. (Нормальное давление можно
считать равным 105 н/м2.)
312. Когда газ, объем которого оставался неизменным, нагрели
на 30°, его давление увеличилось на 10%. Какова начальная тем-
пература газа?
313. Когда объем, занимаемый газом, уменьшили на 10%, а
температуру увеличили на 16°, его давление возросло на 20%. Ка-
кова начальная температура газа?
314. Когда при изотермическом сжатии газа его объем умень-
шили на 1 л, давление возросло на 20%. На сколько процентов уве-
личилось бы давление, если бы объем был уменьшен на 2 л?
315. Два сосуда, содержащие один и тот же газ, соединены
трубкой с краном. Объемы сосудов равны Vj и V2> а давления в
них — pivip2. Каким будет давление газа после открытия крана
соединительной трубки? (Температура газа постоянна.)
316. Два сосуда, содержащие одинаковую массу одного и того
же газа, соединены трубкой с краном. В первом сосуде давление
газа 4000 н/м2, а во втором — 6000 н/м2. Какое установится давле-
ние после открытия крана? (Температура газа постоянна.)
317. Два сосуда соединены трубкой с краном. В первом сосуде
находится 2 кг газа под давлением 4 • 105 н/м2, а во втором — 3 кг
того же газа под давлением 9 • 105 н/м2. Какое установится давле-
ние после открытия крана? (Температура газа постоянна.)
318. Вертикальная барометрическая труб-
ка опущена в широкий сосуд с ртутью. Столб
ртути в трубке имеет высоту 40 мм, а столб
воздуха над ртутью — 190 мм. На сколько
надо опустить трубку, чтобы уровни ртути
сравнялись? Атмосферное давление равно
760 мм рпг. ст.
319. В U-образной трубке (рис. 124) вы-
сота столба воздуха /0 = 300 мм, а высота
столба ртути Ло = ПО мм. В правое коле-
но долили столько ртути, что ее уровень
поднялся на 40 мм. На сколько поднялся Рис. 124
63
уровень ртути в левом колене? Атмосферное давление равно
760 мм рт. ст.
320. В трубке, показанной на рис. 124, высота столба воздуха
/0 = 368 мм, а высота столба ртути Ло = 140 мм. Температура ок-
ружающего воздуха равна 27°С, а давление — 760 мм рт. ст. На
сколько повысится уровень ртути в правом колене, если атмосфер-
ное давление останется прежним, а температура увеличится на
15°?
321. При нагревании газа был получен график зависимости его
давления от абсолютной температуры (рис. 125). Как изменялся
при этом объем газа?
Рис. 125
Рис. 126
322. При нагревании газа был получен график зависимости его
объема от температуры (рис. 126). Как изменялось при этом давле-
ние?
2. Закон Дальтона
Если сосуд занят смесью из нескольких газов, то
Р = Pi + Р2+ •- + Рп,
G8)
где р — давление смеси, & pk — давление, которое было бы в этом
сосуде, если бы там был лишь &-й газ (в том количестве, в каком
он присутствует в смеси). Давления pt, p%, ..., рп называются пар-
циальными.
323. Сосуд объемом 1 л занят смесью из 2 г кислорода и 3 г
азота. Каково давление этой смеси при температуре 27°С?
324. Сосуд объемом 1 л занят смесью из 2 г кислорода и 3 г азо-
та. Какова температура этой смеси, если ее давление 5 • 105н/лг2?
325. В сосуде объемом 10 л находится смесь кислорода и угле-
кислого газа (СОг). Температура смеси равна 27°С, давление —Зх
X Ю5 н/м2, масса — 40 г. Найти массу каждого из газов.
326. В атмосферном воздухе на долю азота приходится 76% мас-
сы, а на долю кислорода — 24% (если пренебречь ничтожными
примесями других газов). Считая атмосферное давление равным р,
найти парциальные давления азота и кислорода.
64
327. В закрытом сосуде находится воздух и капля воды мас-
сой 0,5 г. Объем сосуда 25 л, давление в нем 10* н1мг и тем-
пература 300°К. Каким будет давление в сосуде, когда капля ис-
парится? (Температуру считать неизменной.)
328. Смесь состоит из 32 г кислорода (О2) и 22 г углекислого
газа (СО2). Какова ее плотность при температуре 0°С и давлении
105 н/м2?
329. При некоторой температуре и некотором давлении газ А
имеет плотность 0,4 кг/м3, а газ В — 0,6 кг/м3. Какую плотность
будет иметь при этих условиях смесь газов А и В, если массы сме-
шиваемых газов одинаковы?
330. При температуре 0°С и давлении 105 н1мг воздух имеет
плотность 1,273 кг/м3. Считая, что он состоит только из кислорода
и азота, найти его весовой состав.
331. Газ, масса которого равна ти а молекулярная масса —
|Xj, смешали с газом, масса которого равна т2, а молекулярная
масса — \i2. Найти среднюю молекулярную массу смеси.
332. В атмосферном воздухе на долю азота приходится 76%
массы, а на долю кислорода — 24% (если пренебречь примесями
других газов). Пользуясь решением предыдущей задачи, вычислить
среднюю молекулярную массу воздуха.
333. Два сосуда, содержащие различные газы, соединены труб-
кой с краном. Объемы сосудов равны Vt и V2, давления в них равны
р{ и рг, молекулярные массы газов равны \it и |х2. Какое давление
установится после открытия крана соединительной трубки? (Темпе-
ратура не изменяется.)
334. Решить предыдущую задачу, считая объемы сосудов неиз-
вестными, но зная, что в каждом из них содержится один киломоль
газа.
335. Сосуд, содержащий кислород (О2), и сосуд, содержащий
углекислый газ (СО2), соединены трубкой с краном. Давления га-
зов равны pi и р2, массы газов одинаковы. Какое давление уста-
новится после открытия крана соединительной трубки? (Температу-
ра не изменяется.)
§ 16. ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ И ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗА
Согласно закону сохранения энергии
Q = AU + А, G9)
где Q — теплота, сообщенная газу, А[/ — увеличение его внут-
ренней энергии и А — работа, совершенная газом.
Если газ идеальный, то его внутренняя энергия равна-
U = су тТ, (80)
где m — масса газа, a cv — его удельная теплоемкость при по-
стоянном объеме. Следовательно, для идеального газа
65
Q = Cv mT + A. (81)
Из этого равенства видно, что для повышения температуры идеаль-
ного газа на Г требуется большее или меньшее количество тепла,
в зависимости от работы, совершаемой газом при нагревании.
Поэтому, когда нагревание газа сопровождается его расширением,
удельная теплоемкость газа оказывается большей, чем в случае,
когда газ нагревают при постоянном объеме.
Удельную теплоемкость газа при постоянном давлении обозна-
чают через ср. Очевидно, что ср > су .
Газ, расширяющийся при постоянном давлении, совершает
работу
A = p(V2- V,) = pAV, (82)
где Vi — начальный объем газа, а У2 — конечный. В этом случае
равенство (81) приобретает вид:
Q = cv mAT + pAV. (83)
336. При нагревании газа его давление изменялось согласно
графику, изображенному на рис. 125.
Сообщалось ли этому газу тепло?
337. Расширение газа происхо-
дило по кривой 1—2, лежащей меж-
ду изотермой и адиабатой (рис. 127).
Как изменялась температура этого
газа? Подводилось ли к нему тепло?
338. При адиабатическом расши-
"J рении 1 кг азота совершил работу
300 дж. На сколько уменьшилась его
Рие- 127 внутренняя энергия и на сколько по-
низилась температура? Удельная
теплоемкость азота при постоянном объеме су — 745 дж/кг ¦ град.
339. Газ, у которого m = 1 кг, р = 2 • 105 н1мг и cv =
=700 дж/кг ¦ град, нагревали, давая ему расширяться. Какова удель-
ная теплоемкость газа в этом процессе, если его температура повы-
силась на 2°, а объем увеличился на 0,001 ле3? (Предполагается, что
газ имел достаточно большой объем и достаточно высокую темпера-
туру. Поэтому его давление можно считать постоянным.)
340. Решить предыдущую задачу, считая, что газ нагревали в
процессе сжатия и что его объем не увеличился на 0,001 м2, а умень-
шился на эту величину.
341. Азот нагревали при постоянном давлении.. Зная, что мас-
са азота равна 280 г, количество затраченного тепла равно 600 дж
и (у = 745 дж/кг ¦ град, найти повышение температуры азота.
342. При нагревании в постоянном объеме кислород имеет удель-
ную теплоемкость cv = 657 дж/кг ¦ град. Какова удельная теплоем-
кость кислорода при постоянном давлении?
€6
343. При адиабатическом расширении азота его объем увели-
чился на 1 %. На сколько процентов изменилась его абсолютная тем-
пература и на сколько — давление? При нагревании в постоянном
объеме азот имеет удельную теплоемкость су = 745 дж/кг ¦ град.
(Учесть, что при увеличении объема на 1% давление изменяется
очень мало.)
344. В процессе расширения азота его объем увеличился на
2%, а давление уменьшилось на 1 %. Какая часть теплоты, получен-
ной азотом, была превращена в работу? (При нагревании в постоян-
ном объеме азот имеет удельную теплоемкость су =
=745 дж/кг ¦ град.)
345. Решить предыдущую задачу, считая, что давление умень-
шилось на: 1) 2%; 2) 2,5%.
§ 17. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Киломоль каждого вещества содержит одно и то же число моле-
кул. Оно называется числом Авогадро и равно
/V = 6,02 • 1023 1-— . (84)
кМоль
Зная молекулярную массу вещества и число Авогадро, можно вы-
числить массу одной молекулы этого вещества.
В уравнении pV = — RT отношение — есть число кило-
молей данного газа. Поэтому его можно представить в виде
т п
[д, N'
где п — общее число молекул газа,а N — число Авогадро. Подста-
вив это выражение в уравнение Менделеева— Клапейрона, получим:
pV = ± RT,
N
ила
pV = nkT, (85)
где
k=*-. (86)
N
Так как R и N не зависят от рода газа, то число k есть некоторая
константа. Она равна
k = 1, 38 ¦ 10~23 дж/град
и называется постоянной Больцмана. Таким образом, уравнение
состояния идеального газа можно представить в виде (85). Суще-
ственной особенностью этого уравнения является то, что оно не со-
держит величин, характеризующих род газа.
67
Из уравнения (85) следует, что число молекул, содержащихся
в единице объема идеального газа, зависит лишь от температуры
и давления.
Абсолютная температура идеального газа зависит только от
средней кинетической энергии его молекул и пропорциональна ей.
Таким образом,
Т-~-, (88)
где m — масса молекулы газа, a v— ее средняя скорость. Из соот-
ношения (88) следует, что средняя скорость молекул пропорцио-
нальна корню квадратному из абсолютной температуры.
4 346. Где больше атомов: в стакане воды или в стакане ртути?
347. Вообразим, что мы как-то пометили все молекулы в ста-
кане воды и вылили эту воду в Мировой океан. Если затем переме-
шать воду в океане и зачерпнуть из него один стакан воды, то
как много будет в нем меченых молекул? В Мировом океане содер-
жится примерно 13 • 1017 mz воды.
348. Вычислить массу молекулы воды.
349. Какой воздух тяжелей: сухой или сырой (при заданной тем-
пературе и заданном' давлении)?
350. В сосуде объемом 60 л находится идеальный газ с темпера-
турой 27°С и давлением 10s н/м2. Сколько в этом газе молекул?
351. Современные вакуумные насосы позволяют понижать дав-
ление почти до 10~10 н/м2. Сколько молекул содержится в 1 мм3
газа при этом давлении и температуре 27°С?
352. После того как в комнате протопили печь, температура
поднялась с 15 до 27°С. На сколько процентов уменьшилось число
молекул в этой комнате?
353. Два сосуда, содержащие некоторые газы, соединены труб-
кой с краном. Давление в сосудах равно р{ и рг, а число моле-
кул — ni и «2. Каким будет давление в сосудах, если открыть кран
соединительной трубки? (Температуру считать неизменяющейся.)
354. При 0°С молекулы кислорода имеют среднюю скорость
460 м/сек. Какова при этой температуре средняя скорость молекул
азота?
355. При 0°С молекулы кислорода имеют среднюю скорость
460 м/сек. Какова средняя скорость молекул водорода при 100°С?
356. Доказать, что средняя скорость молекул газа пропорцио-
нальна ~\/ ?_ , где р — давление газа, ар — его плотность.
г р
357. Вычислить среднюю скорость атомов гелия при температу-
ре 27°С. Удельная теплоемкость гелия при постоянном объеме с v =
= 3140 дж/кг ¦ град.
358. При повышении температуры идеального газа на 150° сред-
няя скорость его молекул увеличилась с 400 до 500 м/сек. На сколь-
68
ко нужно нагреть этот газ, чтобы увеличить среднюю скорость его
молекул с 500 до 600 м/сек?
359. Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число ;мо-
лекул азота, соединены краном. В первом сосуде средняя скорость
молекул равна 400 м/сек, а во втором — 500 м/сек. Какой будет
эта скорость, если открыть кран, соединяющий сосуды? (Теплооб-
мен с окружающей средой отсутствует.)
360. В закрытом сосуде находится идеальный газ. Как изменит-
ся его давление, если средняя скорость его молекул увеличится
на 20%?
Чтобы научиться решать задачи, надо их решать!!!
Решение задач — это практическое искусство, подобно плаванию, или катанию на лыжах, или игре на пианино: вы можете научиться этому, только практикуясь .
|
| |
| |
|
