Уравнение движения материальной точки вдоль оси ОХ имеет вид: х = 2 – t + 0,5 t3 (м). Найти координату х, скорость х и ускорение ах в момент времени t=2c, а также средние значения скорости <x> и ускорения <ах> за промежуток времени от 0 до 2с.
Дано:
х = 2 – t + 0,5 t3 (м)
t = 2c
t1 = 0c
t2 = 2c
Решение: Координату х в момент времени t=2с найдем, подставив в уравнение движения заданное значение t:
х = 2 – 2 + 0,523 = 4м (1.1)
Мгновенная
скорость относительно оси х, согласно определению, есть
первая производная от координаты (пути вдоль оси х)
х-? х -? ах -? <x>-?<ах>-?
по времени:
х = = - 1 + 1,5t2 (1.2)
Мгновенное ускорение по определению есть первая производная от скорости по времени:
ах= 3t (1.3)
Для t = 2c найдем х и ах по уравнениям (1.2) и (1.3):
х = - 1 + 1,522 = 5 м/с ах = 32 = 6 м/с.
По определению среднее значение скорости равно:
<x> = =
Согласно уравнению (1.1) х2 = 4м; х1 найдем, подставив в уравнение движения t1= 0c: х1 = 2м. Тогда
х = = 1 м/с.
По определению среднее ускорение ах равно:
ах = = . (1.4)
Скорость в момент времени t2=2 c нами найдена х2 = 5 м/с. Для определения х1 подставим в уравнение (1.2) t1=0 c:
х1 = - 1 + 1,50 = - 1 м/с.
Рассчитаем ах по формуле (1.4):
ах = = 3 м/с2.
Ответ: х = 4 м; х = 5 м/с; ах = 6 м/с2; х = 1 м/с; ах = 3 м/с2. Задача 2. При вращении тела вокруг неподвижной оси зависимость угла поворота от времени имеет вид: φ= (t4+2t–2) рад. Определить среднее значение углового ускорения за промежуток времени от 0 до 3с.
^Дано:
φ=(t4+2t –2) рад
t1=0c
t2=3c
<ε>-?
Решение: По определению среднее значение углового ускорения <ε> равно:
= , (1.5)
где Δω – приращение угловой скорости за время Δt:
Δω = ω2 - ω1 ,
где ω2 и ω1 - мгновенные угловые скорости в моменты времени t1 и t2. Мгновенная скорость по определению находится по формуле:
= ,
следовательно:
= 4t3 + 2 (1.6)
Для моментов времени t1=0c и t2=3c с помощью формулы (1.6) получим:
ω1 = 4. 0 + 2 = 2 с-1, ω2 = 4 . 33 + 2 = 110 с-1.
Подставим полученные значения ω2 и ω1 в формулу (1.5):
= с-2 .
Ответ: =36 с-2 .
1.2.3 Задача 3. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой 0=10 с-1,
при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение
прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с
частотой = 6с-1. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность t торможения, если за время замедленного движения маховик сделал
N = 50 оборотов.
Дано:
0=10 с-1
=6 с-1
=const
N=50 об.
Решение: Угловое ускорение связано с начальной 0 и конечной угловыми скоростями соотношением:
2 - = - 2 , (1.7)
где =2. N – угловой путь маховика; знак «-», т.к. движение замедленное и 0. Из уравнения (1.7) имеем:
-? t-?
= = (1.8)
Время торможения можно найти из формулы угловой скорости для равнозамедленного движения: = 0 - t, следовательно
t = =.
Используя формулу (1.8), получим:
t = = . (1.9)
По формулам (1.8) и (1.9) рассчитаем и t:
= = 4,02 рад/с2 , t = = 6,25 с.
Ответ: = 4,02 рад/с2; t = 6,25 с.
1.2.4 Задача 4. Тело брошено под углом 300 к горизонту со скоростью
10 м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела, дальность полета, время
движения тела и радиус кривизны траектории через 0,7 с после начала
движения.
Дано:
= 300
0 = 10 м/с
t = 0,7 с
Рисунок 1.1
h-? S-? tполн-?
R-?
Решение: Движение
тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как сумму
двух движений – вдоль оси ОХ и вдоль оси ОУ, происходящих независимо
друг от друга (рисунок 1.1). Вдоль оси ОХ на тело не действуют никакие
силы, поэтому оно движется равномерно прямолинейно:
S = 0хtполн = 0 cos tполн (1.10)
Вдоль оси ОУ тело движется равнозамедленно до точки В. В точке В у=0, поэтому высота подъема может быть определена из формулы:
= 2gh,
следовательно:
h = = .
Проверим единицы:
[h] = = м.
Рассчитаем h, приняв ускорение свободного падения g=10 м/с2:
h = = 1,25 м.
Скорость равнозамедленного движения у определяется по формуле:
у = оу – gt1,
где у = 0 для точки В, t1 = время подъема, следовательно
оу= gt1, osin = g ,
tполн= .
Проверим единицы:
[tполн] = = с.
Рассчитаем tполн:
tполн = = 1 с.
Дальность полета определим по формуле (1.10):
S = 101 = 8,5 м.
Радиус кривизны траектории необходимо определить в момент времени
t = 0,7 с. Так как t tполн, то в момент времени t= 0,7 с тело будет
находиться в некоторой точке А (см. рисунок 1.1). Радиус кривизны можно определить по формуле
R = , (1.11)
где - скорость тела в точке А, ап
– нормальное ускорение в этой же точке. Для определения этих величин
построим параллелограмм скоростей и ускорений в точке А. Скорость в
точке А ,
=, (1.12)
где
х = ох = оcos; у = g (t - ) (1.13)
Полное ускорение при движении тела в поле силы тяжести равно ускорению свободного падения . Полное ускорение состоит из нормального и тангенциального ускорений:
= +.
Из рисунка 1.1:
аn= g cos = g (1.14)
Подставим формулы (1.12) и (1.14) в формулу (1.11) с учетом формул (1.13):
R= = (1.15)
Проверим единицы R согласно формуле (1.15):
[R] = = = м.
Полученная единица R верна, следовательно верна и формула (1.15).
Подставим числовые значения в формулу (1.15) и произведем расчеты:
= - 1 + 1,5t2 (1.2)
= 
= 1 м/с.
= 
. (1.4)
= 3 м/с2.
ε>-?
ешение: По определению среднее значение углового ускорения <ε> равно:
, (1.5)
, 
с-2 .
= - 2 , (1.7)
=
(1.8)
=
.
= 
. (1.9)
= 4,02 рад/с2 , t = 
= 6,25 с.
ано:
-? S-? tполн-?
= 2gh,
= 
.
= м.
= 1,25 м.
время подъема, следовательно
.
= с.
= 1 с.
1 = 8,5 м.
, (1.11)
,
, (1.12)
. Полное ускорение состоит из нормального 
и тангенциального 
ускорений:
(1.14)
= 
(1.15)
= 
= м.
= 8,3 м.